紧空间和度量空间都是拓扑学中重要的空间类，仿紧空间是紧空间和度量空间的一个重要的推广.仿紧空间、亚紧空间等很多借助于不同性质的开覆盖及其加细所定义的空间都是度量空间某一性质的推广，这类空间按其定义的独特方式称为覆盖性质，它们虽然不属于广义度量空间的范畴，但覆盖性质和广义度量空间有着密切关系.对任意集合X，称积集X×X的子集△X={(x，x)：x∈X}为X的对角线.由许多已知的结论我们知道通过空间X的对角线我们可以了解关于空间X的性质.因此，对拓扑空间的对角线的研究是十分必要的。　　令△X={(x，x)：x∈X)是拓扑空间X的对角线，A(∈)X，令Y=(A×X)∪(X×A).若X2中存在开集列{Vn：n∈N}，使得对任意的n∈N，有△(∈)Vn，且(∩{-Vn：n∈N})∩Y=(∩{Vn：n∈N})∩Y={(α，α)：α∈A}，那么我们称空间X具有与A有关的正则Gδ对角线.本文给出了空间X具有与其某子集A有关的正则Gδ对角线的等价命题，并证明了若正则空间X具有与其有界子集A有关的正则Gδ对角线，那么A是可度量化的，这一命题推广了Arhangelskii与Burke在2006年得出的结论.令F是拓扑空间X的子集，若存在连续闭映射f：X→[0，1]，使得F=f-1(0)，则称F是空间的一个强零集.同时我们证明了若F是正则空间X的有界强零集，并且X具有与F有关的正则Gδ对角线，那么F是紧的可度量空间。　　通过研究覆盖性质与对角线的分离性质，我们给出了正则△亚紧空间与函数△亚紧空间的概念.若对于X2中的每一闭集A，A(∈)X2＼△x，存在X中点有限的开覆盖u，使得A∩(∪{-U×-U：U∈u))=(0)，则称空间X是正则△亚紧空间。若对于X2中的每一闭集A，A(∈)X2＼△x，存在由函数开集构成的X的点有限开覆盖u，使得A∩(∪{U×U：U∈u))=(0)，则称空间X是函数△亚紧空间.并进一步讨论了它们的性质，得出正则△亚紧空间是正则空间，正规的△亚紧空间是函数△亚紧空间的结论。　　另外，本论文的第三章证明了X2中包含△x的任意闭集F与任意的闭集A，若A∩F=(0)，X2中存在分别包含A与F的开集UA，UF，使得UA∩UF=(0)，那么空间X是函数△正规的.同时也证明了若X是正则的△仿紧空间，那么X中的离散紧集列可以被X中的离散开集列分开。