分数阶微分方程在数学、经济、物理等各个领域已得到普遍的应用,因此研究分数阶微分方程的解是十分具有意义的。但是求解其解析解常常是十分困难的,并且很多方程甚至没有解析解,所以关于分数阶微分方程的数值解的研究十分重要的。本文对于非线性分数阶常微分方程初值问题进行研究,根据广义Jacobi函数,构造一种新的乘积积分法,称之为广义Jacobi函数的乘积积分法,是一类分数阶常微分方程的数值解法。首先,利用广义Jacobi函数的相关性质,将非线性分数阶常微分方程初值问题转化为与其等价的Volterra积分方程,利用傅里叶展开的思想,选取广义Jacobi函数为基函数,构造一种广义Jacobi函数乘积积分法。然后,对广义Jacobi函数乘积积分法进行理论分析。在广义Jacobi函数乘积积分法性质的研究中,在对CD0α y(t)和已知函数f做光滑性假设的两种情况下给出了收敛性结论,探讨了广义Jacobi函数乘积积分法的收敛性,并给出了迭代收敛条件,同时研究了广义Jacobi函数乘积积分法的线性稳定性,绘制了分别采用两点、三点Gauss-Jacobi积分公式的广义Jacobi函数乘积积分法分别在α=0.25,α=0.5,α=0.75时的稳定区域,验证了广义Jacobi函数乘积积分法的稳定性。最后,本文选取了两个数值算例分别在CD0α y(t)和已知函数f光滑的情况下进行广义Jacobi函数乘积积分法性质的验证。数值实验证明了这类广义Jacobi函数乘积积分法在解决非线性分数阶常微分方程初值问题的收敛性。