【摘 要】
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现实世界中,许多复杂问题的描述是通过耦合的分数阶微分方程组来描述的,但大多数的耦合分数阶微分方程组不能得到精确解。针对非线性Caputo型分数阶微分方程耦合系统的数值解及其参数反演,本论文的研究工作如下:一、分数阶耦合方程组的Euler方法。对耦合的分数阶微分方程组的初值问题,将其转化为等价的Volterra积分方程组,然后对其进行网格剖分。类似数值积分的处理方法,构造了隐式Euler方法,并对其
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现实世界中,许多复杂问题的描述是通过耦合的分数阶微分方程组来描述的,但大多数的耦合分数阶微分方程组不能得到精确解。针对非线性Caputo型分数阶微分方程耦合系统的数值解及其参数反演,本论文的研究工作如下:一、分数阶耦合方程组的Euler方法。对耦合的分数阶微分方程组的初值问题,将其转化为等价的Volterra积分方程组,然后对其进行网格剖分。类似数值积分的处理方法,构造了隐式Euler方法,并对其进行收敛性分析和稳定性分析。结果表明,当α＞0时,Euler格式的收敛阶为1。二、分数阶耦合方程组的Legendre谱配置法。对耦合的分数阶微分方程组的边值问题,将其转化为等价的Fredholm积分方程组。利用基于Legendre多项式的谱方法对积分方程进行离散,构造了非线性分数阶微分方程耦合系统的Legendre谱配置法,并给出了在L~2-和L∞-范数下的误差范围。结果表明,当1＜α＜2时,Legendre谱配置法有很好的收敛性。三、耦合分数阶微分方程组参数反演。对耦合的分数阶微分方程组的导数阶进行估计,首先我们定义一个带对数幂律核的Caputo分数阶算子,通过L1-2推导出它的解。然后使用分数阶灵敏度方程方法,建立了一个数学模型,研究分数阶微分方程组对导数阶的灵敏度,最后构造了一种迭代算法,来进行导数阶估计。
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