种群生态学是生态学中一个重要的分支，也是迄今数学在生态学中应用得最为广泛和深入，发展得最为系统和成熟的分支。线性代数、微分方程、积分方程、差分方程、泛涵微分方程、动力系统、随机过程、统计方法、乃至算子半群理论等都是一些重要而常用的理论和工具，应用这些理论和方法去研究由种群生态学乃至更普遍的生态学中所提出的数学模型，就是数学生态学的内容。而微分方程模型在种群生态学中是一类十分重要的模型，其中包括一些为人们熟知的重要方程，如：Malthus方程、Logistic方程和Lotka-Volterra方程，这些方程对研究种群增长的生态关系十分重要。本文共分为四章，第一章简要介绍了文中所需的预备知识：微分方程稳定性理论；第二章介绍了生物种群的基础模型：单个种群的Malthus模型、Logistic模型及两个种群之间相互竞争、相互依存的数学模型，并详细讨论了模型的优缺点及不同平衡点的稳定性；第二章讨论了广义的Logistic方程：du／dt=u（b（t）-c（t）u） （3．1）其中函数b和c在R中是正的连续函数。得到了以下三个定理：定理3．1设（?）B（t）=∞，如果u是一个大于零的解，那么（?）u（t）=（?）b（t）／c（t），假设右极限存存。定理3．2如果系数函数6和c都是7—周期的函数，那么方程（3．1）存在一个正的T—周期解。定理3．3设系数b，c是正有界的，那么方程（3．1）在R上有一个正有界的解u^*（t）；且如果u是任意一个正的解，那么当t→∞时，u（t）-u^*（t）→0。第四章首先介绍了Lotka-Volterra捕食者-食饵模型：（?）=x（a-by），（?）=y（-c+dx），（4．1）其中a，b，c，d是正的常数。得到了下面的定理和推论：定理4．1对于-∞＜α＜B，水平集K_α=F^-1（α）是围绕固定点（x₀，y₀）封闭的约当曲线。Lotka-Volterra方程的所有正的解（x（t），y（t））都是周期解；当y（t）=y₀时，x（t）有最大和最小值，且在x（t）=x₀时，y（t）有最大和最小值。推论方程（4．1）以T为周期的解（x（t），y（t））经过一个周期后的平均值（x_m，y_m），即x_m=1／T integral from n=0 to T x（t）dt，y_m=1／T integral from n=0 to T y（t）dt，等于固定解，即x_m=x₀，y_m=y₀。然后讨论了广义的捕食者-食饵模型，得到了相应的定理并给出了证明：定理4．2对于自治系统（?）=W（x，y）（?）（y），（?）=-W（x，y）（?）（x），（4．2）这里W＞0，设函数（?），（?）是连续的且在[0，∞)上是严格递减的，再设每个函数有一个正的零点，即（?）（x₀）=0，（?）（y₀）=0。则（a）函数F（x，y）=G（x）+H（y）沿着系统（4．2）的每个解是常数。其中G（x）=integral from n=x₀ to x （?）（s）ds，H（y）=integral from n=y₀ to y （?）（s）ds。（b）如果假设G（0+）=H（0+）=-∞，那么定理4．1成立。