经过最近十几年的研究,拓扑在凝聚态领域已经取得了丰硕的成果。其中,拓扑半金属是继拓扑绝缘体之后成为大家关注的热点之一。目前拓扑半金属大家族成员包括,Dirac半金属,Weyl半金属和拓扑节线半金属等等。那么在布里渊区具有不同几何构型的拓扑半金属体系的边界态的性质如何,成为人们关注的焦点之一。比如,体态具有相反手征的Weyl点会产生受拓扑保护的费米弧边界态,且在ARPES实验中也观察到了费米弧的存在。最近地,人们发现对于体态费米面的拓扑结构是一维的节线体系,由于受到特殊的PT对称性保护,其呈现出受拓扑保护的鼓面状边界态。因此,无论是从理论模型的构造,还是从第一性实际材料的预言,探索这一类具有不同拓扑构型的节线半金属的物理性质变得十分迫切和意义非凡。第一章对拓扑大家族背景做了简要阐述,其中着重介绍了 Weyl(Dirac)半金属的研究发展背景,并且引申到最近发现的拓扑节线半金属的相关进展。第二章主要是利用传输矩阵,我们发展了一套解析求解半无限大的晶格紧束缚模型体系的边界态的理论方法。通过讨论与原薛定谔方程等价的系数参数方程,我们细致地分析了存在局域边界态下的参数条件以及对应的波函数的衰减形式。我们发现两大类衰减形式的波函数,平行和非平行模式。经验证,此方法在不同边界类型的2D(3D)石墨结构,Weyl半金属和超导等体系应用良好。第三章介绍的是在一个Weyl节线圈半金属的理论模型的基础上,我们发展出了 一套构造具有PT对称性保护的拓扑节线圈体系的一般方法。该方法可以在一个理论框架下,实现拓扑网状半金属态,Hopf环绕半金属态,拓扑链状半金属态和非嵌套环绕态等多个拓扑半金属。以最简单的两个节线圈模型为例,通过计算和比较上述不同拓扑半金属态的边界态,发现他们都呈现出受手征保护的鼓面状的边界态。此外,通过加入磁场计算朗道能级,发现Hopf嵌套的节线圈半金属总是存在四重简并的零能平带,这个特点可以区分Hopf嵌套和非嵌套体系。第四章我们研究节线圈半金属和正常金属结之间的输运性质,主要探讨了节线圈与界面的几何位置因素和节线圈的自旋构型因素对输运性质的影响。第五章我们对本文的工作进行了总结,并提出几个与拓扑节线圈半金属相关的开放性问题,为将来研究提供参考。