【摘 要】
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本文,我们主要应用有限维KAM理论证明了一类带拟周期项的单摆方程存在拟周期解、一类带FHE项及拟周期项的van der Pol-Mathieu-Duffing方程存在拟周期解,以及研究了带双曲型
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本文,我们主要应用有限维KAM理论证明了一类带拟周期项的单摆方程存在拟周期解、一类带FHE项及拟周期项的van der Pol-Mathieu-Duffing方程存在拟周期解,以及研究了带双曲型退化平衡点的三维非线性拟周期系统的拟周期解存在性.全文共包含四章和一个附录.第一章,主要介绍了单摆方程和van der Pol-Mathieu-Duffing方程的由来和相关的研究背景、实际应用意义,并且介绍了KAM理论的相关背景和国内外研究现状.同时,引出本文的研究内容及意义.第二章,利用有限维KAM理论证明了一类带拟周期项的单摆方程存在拟周期解.首先,我们概述了单摆模型的背景和研究现状,之后我们给出了本文所要研究的一类单摆方程,并且给出了四个KAM定理.我们先证明了一个迭代引理,然后利用此迭代引理来证明主要结论.第三章，讨论一类带FHE项及拟周期项的van der Pol-Mathieu-Duffing方程拟周期解的存在性.我们先概述了带FHE项及拟周期项的van der Pol-Mathieu-Duffing方程的背景和本文中需要研究的模型,并且给出了一个KAM定理,即在四维相空间中证明了上述方程存在拟周期解.为了在四维相空间中讨论拟周期解的存在性,我们需要做平移、伸缩、极坐标等一系列变换,把方程化成四维相空间中的标准型.然后利用KAM理论来证明此标准型存在拟周期解.从而获得原方程拟周期解的存在性.第四章,我们讨论了带双曲型退化平衡点的三维非线性拟周期系统的拟周期解存在性.对于非退化系统,我们一般把线性部分看成主项来对系统进行约化.但是对于退化系统,由于有零特征根的出现,我们不能直接把线性部分看成主项来对系统进行约化.此时我们可以把某一高次项看成主项,对低次小扰动项整体来进行约化,从而证明系统存在拟周期解.附录中,我们列出了本文使用的一些技术性引理.
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