具有奇异性的偏微分方程,如:Helmholtz方程、Boltzmann方程、Maxwell方程、Schr?dinger方程、Navier-Stokes方程等,广泛存在于非光滑区域的弹性力学、考虑点源的传热学、非光滑控制论、非光滑优化等方向。然而,当问题出现奇性时,解在奇点附近将有剧烈的变化,可能会导致传统的有赖于解的光滑度假设的高阶方法失效。因此,为了取得可以与光滑问题相媲美的精度与效率,有必要对具有奇异性的问题进行研究。本文在适应奇异点的分数阶空间框架下,考虑多项式逼近理论,研究具有一类边界奇异性函数的Chebyshev展开系数的精确表示、最优衰减率及谱展开的最优误差估计。以下是本文的主要工作内容:首先,通过利用分数阶广义Gegenbauer函数的分数阶微积分性质和分数阶分部积分,推导出Chebyshev展开系数的精确表示,进而能够自然地定义适应奇异点的分数阶空间,该空间包含尽可能广泛的函数类并且可以最好地刻画函数的正则性。其次,结合分数阶广义Gegenbauer函数的一致上界及相关定理,推导出Chebyshev展开系数的衰减率。接着,通过得到的Chebyshev展开系数的衰减率,估计具有端点奇异性的函数在?L和~2L范数中的Chebyshev展开误差。最后,针对在Chebyshev-Gauss点的插值多项式和数值求积公式进行误差分析,通过利用推导得出的Chebyshev展开系数衰减率的估计进而再推导得到较为精确的界限。本文的数值实验部分,主要根据Chebyshev多项式逼近的最优?L-估计和最优加权~2L-估计,进行相应的数值实验,并给出最优收敛阶的数值说明,用来检验收敛的效果。同时,给出有关函数u（x）（28）1（（10）x）?,?（29）,0x?[-,1]1的相关误差估计的算例分析。