我们称合数n为Carmichael数,如果它满足以下条件:对所有与n互素的正整数a,都有an-1≡1(mod n)成立。Korselt发现n是一个Carmichael数的充分必要条件是n没有平方因子,并且p-1|n-1对n的所有素因子p都是成立的(见[19])。取非零整数α,我们定义合数N为Kα-数,如果N≠α并且p-α|N-α对N的每一个素因子p都成立。我们把使得N成为Kα-数的所有α组成的集合叫做N的Korselt集,并且用符号KS(N)来表示。我们进一步定义N为Wα-数,如果有α,-α∈KS(N)。类似的,我们称使得N为Wα-数的所有α组成的集合叫做N的Williams集,记作WS(N)。在这篇论文的第一部分,我们首先系统地介绍Carmichael数,然后重点研究Korselt的发现(一般被称作Korselt判别法)。经过仔细研究Korselt的证明方法,我们将利用初等数论的核心定理——中国剩余定理和原根存在定理来给出Korselt判别法的一个稍微不同的证明。这种方法是建立在Korselt的证明方法基础之上的,虽然本质相同,但是由于我们用了更加清晰更加现代的初等数论语言,从而使得证明过程显得新奇。在这部分末尾,我们集中研究Carmichael数的几种不同的推广形式,主要介绍了在代数整数环上的Carmichael理想和整数中的高阶Carmichael数。论文第二部分主要研究当N是一个素数的方幂时,它的Korselt集合KS(N)的一些性质。我们从理论上完全描述了KS(N)中元素的形式,并且给出了此集合大小的准确表达式。另外也提出了一个非常有意思的问题:给定一个整数α,是否一定可以找到素数q使得α属于KS(ql)。我们利用狄利克雷定理解决了当l=3时的一种简单情况。对于最一般的情况,我们提炼出一个猜想,留给专家来解决。论文第三部分,也是最后一部分,我们探究N是一个素数的方幂时,它的Williams集WS(N)的一些性质。我们首先证明了几个关于集合WS(ql)的命题,最后成功给出了集合WS(ql)=(?)的一个充分必要条件。