【摘 要】
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贝叶斯方法诞生至今已经有300余年,目前依旧是个充满活力的研究领域.贝叶斯方法将先验信息与似然函数结合在一起,相较于经典统计方法更灵活,在各行各业中都有着广泛的应用.尤其是近些年在光电数据分析领域的反散射问题中,贝叶斯方法受到越来越多的关注.反散射问题是一类非常重要的数学物理问题,随着工程应用的需要,对各类复杂的反散射问题的求解需求也愈发强烈.然而更复杂的反散射模型往往会带来更强的非线性和不适定性
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贝叶斯方法诞生至今已经有300余年,目前依旧是个充满活力的研究领域.贝叶斯方法将先验信息与似然函数结合在一起,相较于经典统计方法更灵活,在各行各业中都有着广泛的应用.尤其是近些年在光电数据分析领域的反散射问题中,贝叶斯方法受到越来越多的关注.反散射问题是一类非常重要的数学物理问题,随着工程应用的需要,对各类复杂的反散射问题的求解需求也愈发强烈.然而更复杂的反散射模型往往会带来更强的非线性和不适定性,这使得对这类问题的研究具有重要的数学意义和实际意义.因此本文立足于统计贝叶斯理论,并将贝叶斯理论应用到带有介质的复杂的混合反散射问题中.本文的主要研究内容和结果包括:1)针对单层均匀介质内声波障碍反散射问题,本文使用贝叶斯方法来重构单个和多个障碍物的位置以及形状.通过贝叶斯公式将声波反散射问题转化为对未知变量的后验概率分布的求解问题,并证明了在多个障碍物情形下贝叶斯方法中后验概率测度的适定性.对于单个障碍物,数值实验表明预先知道障碍物的大致位置有利于提高贝叶斯方法的重构效果和收敛速度,这对多个障碍物的重构具有重要的指导作用.当模型结构为多个障碍物时,反问题的复杂性会大幅提高,这会极大地影响马尔科夫链蒙特卡洛方法（MCMC）对后验分布进行采样的收敛速度.因此本文首先使用线性采样法获得多个障碍物的个数以及大致的位置与形状,之后在线性采样法的结果的基础上使用贝叶斯方法重构出定量的更精确的结果.数值实验表明,这一思想充分发挥了两个方法的优势,同时也加快了贝叶斯方法的收敛速度.2)考虑多层均匀介质内声波障碍反散射问题,由于过多的分层均匀介质会带来极大的研究困难以及计算耗时,所以本文主要研究两层均匀介质内单个和多个障碍反散射问题.当两层均匀介质内只有单个障碍物时,本文利用贝叶斯方法来同时重构出外部的交界面和内部嵌入障碍物的位置以及边界.当两层均匀介质内部有多个障碍物时,首先使用改进的线性采样法重构出两层均匀介质内部多个障碍物的个数以及大致的位置与形状,然后使用贝叶斯方法获得更细节的重构结果.实验结果说明了本文所提出的方法的有效性.3)研究了贝叶斯方法求解两层介质腔体反散射问题,主要目的是通过散射场数据重构出腔体的内部交界面.贝叶斯方法将声波反散射问题描述为一个概率统计问题,即对未知变量后验分布的求解问题.考虑未知变量的先验为高斯分布时,本文证明了后验概率测度的适定性.数值结果表明了贝叶斯方法的可行性.
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