已知一个连通图G和一个闭曲面S(无边缘的紧2-维流形),若存在一个1—1连续映射h:G→S,使得S-h(G)的每个连通分支均是一个2-胞腔,则称G在S上有一个胞腔嵌入。若曲面S是可定向的,则嵌入是可定向嵌入；若曲面S是不可定向的,则嵌入是不可定向嵌入。图G在曲面S上的两个嵌入h:G→S和g:G→S是等价的当且仅当存在一个同胚f:S→S使得foh=g.图的曲面嵌入问题是拓扑图论的一个重要的研究分支,它主要是研究图的可嵌入理论和嵌入计数理论。　　 每一个图都可以嵌入到某个曲面上,使得一个图G可以嵌入到亏格为k的曲面Sk的最小非负正整数七称为是G的亏格。那么图在各种不同亏格的J曲面上各有多少个不等价的嵌入呢?这就是图的嵌入亏格分布问题。　　 图在曲面上的嵌入分布作为拓扑图论的一个重要研究问题,目前为止所得结果仍然很少。对它的研究的方法从如下方面开展:对于一些具有对称性的图,根据旋与嵌入的对应关式,对其循环置换群的圈结构的分解进行计数；基于aingle-White加边的组合拓扑方法；Mohar B提出的覆盖矩阵以及近年来的刘彦佩教授提出的嵌入的联树模型。总体而言,每种方法解决某些图的嵌入亏格分布都有一定的局限性。　　 另外,组合序列的(强)单峰性-直组合数学家关注的一个课题。迄今为止,图的可定向嵌入分布序列的(强)单峰性对已知的几类图是成立的。图的不可定向嵌入分布序列的(强)单峰性还没有类似的结果。总之,图的(不)可定向嵌入分布序列的(强)单峰性猜想至今还是一个谜。此外,单峰点的位置的求解也是一个热门的研究方向。　　 在本论文中,我们首先根据Chebyshev第二类多项式的性质,得到了一类含有两个参数的齐次和非齐次的递推关系的解的解析式。其次,我们利用B.Mohar的覆盖矩阵方法,得到了Closed—end ladders和Cobblestone path两类图的精确的可定向亏格分布和完全亏格分布表达式:再者,对于任意的自然数对(r,s),通过程序计算,我们发现(r,s)型necklaces不可定向亏格分布是单峰的,并且猜测了它的单峰点的具体位置。进一步研究,我们发现其单峰点位置与图的平均亏格之间存在一定的联系,于是我们提出了一个关于单峰点与平均亏格的猜想。