【摘 要】
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本文主要研究某种测度下的几何不等式及其运用.根据研究对象,分以下几部分进行讨论.对于给定的R~n上的测度μ,第二章首先将Lp-混合体积及Lp-表面积测度分别推广为Lp-混合μ-
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本文主要研究某种测度下的几何不等式及其运用.根据研究对象,分以下几部分进行讨论.对于给定的R~n上的测度μ,第二章首先将Lp-混合体积及Lp-表面积测度分别推广为Lp-混合μ-测度和Lp-表面μ-面积测度.然后给出Lp-表面μ-面积测度的积分表示式,并讨论了相应的几何不等式.特别地,证明了关于测度μ的Lp-Minkowski和Lp-Brunn-Minkowski不等式.第三章给出一般测度μ的Lp-Minkowski问题的解的存在性.由解的存在性定理,Lp-Blaschke和推广到一般测度,同时,证明了关于测度μ的Lp-Blaschke和的几何不等式.Lutwak-Yang-Zhang建立了凸体的Orlicz质心不等式,并猜想这个Orlicz质心不等式可以推广到星体上.G.Zhu证明了这个Orlicz质心不等式,且得到当Orlicz函数是严格凸时等号成立的条件.我们在第四章研究了这个不等式没有Orlicz函数是严格凸的限制的关于星体的Orlicz质心不等式等号成立的条件.积分几何与凸几何分析中常用两个凸体的截面体积的最大或者最小值用来估计这两个凸体的体积差.在第五章,我们将两个分别被Koldobsky建立的关于超平面情形体积差不等式推广到任意低维的截面情形.进一步,将这两个不等式推广到具有1/τ凹密度的测度的测度差不等式(其中τ为正整数).
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