实无穷不管在数学上还是在哲学上都是一个非常重要的概念,对数学基础和许多数学理论都作出了很重要的贡献。集合论的基本概念已渗透到数学的所有领域,特别是对实无穷概念,它使人类对数学的理解更深刻、清晰。由此可见它在数学中的重要性。 本文通过测试和访谈,让高学生比较两个无穷(其中一个是另一个的真子集)集合元素的多少,发现: 1、高中生在在比较无穷集合时所用的策略共有四类:①两集合的元素都是无穷多,所以一样多:②两集合的元素都是无穷多,无法比较;③两集合是包含关系,故子集的元素少于全集的元素;④两集合之间存在一一对应关系,因而它们的元素一样多。 2、学生对实无穷的困惑和理解与历史上数学家的困惑和理解是相似,就实无穷概念而言,历史发生原理是成立的。 3、分别用数字形式和几何形式来表示正整数集合和平方数集合,可以导致学生使用不同的比较策略——“包含关系”策略与“一一对应关系”策略,并得到相互矛盾的结果,这与国外有关研究的结果是一致的。 4、对于用不同比较策略所得到的关于两个无穷集合元素比较的矛盾结果,学生并不能作出正确解释。 在论文最后,对中学数学中无穷集合的教学提出了自己的一些建议和看法。