【摘 要】
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随着科技发展,我们在生产生活中面临的问题规模不断扩大,针对大规模优化问题高效、稳定的求解算法是当前研究的热点之一.目前,求解无约束优化问题的算法主要包括:共轭梯度法、最速下降法、牛顿和拟牛顿方法等.其中,共轭梯度法是求解大规模非线性优化问题的最有效的方法之一,在大规模问题的求解中得以广泛应用.对于大规模优化问题,如何精简求解过程中的计算及存储量是关键.子空间技术通过在选定的子空间上最小化目标函数近
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随着科技发展,我们在生产生活中面临的问题规模不断扩大,针对大规模优化问题高效、稳定的求解算法是当前研究的热点之一.目前,求解无约束优化问题的算法主要包括:共轭梯度法、最速下降法、牛顿和拟牛顿方法等.其中,共轭梯度法是求解大规模非线性优化问题的最有效的方法之一,在大规模问题的求解中得以广泛应用.对于大规模优化问题,如何精简求解过程中的计算及存储量是关键.子空间技术通过在选定的子空间上最小化目标函数近似模型的方式构造迭代点列,使算法的每次迭代都在低维空间进行,能够有效减少算法的计算及存储成本,非常适合大规模问题的求解.根据以上特性,本文基于二次模型,研究求解大规模优化问题的三维子空间梯度算法.研究内容主要包括:（1）子空间的构造方式;（2）目标函数在给定子空间中的近似模型;（3）模型中内嵌参数的最优化选择问题.本文的研究结果主要包括:研究了基于双参数及三参数的三维子空间构造方法.通过利用当前迭代点梯度、上一个迭代点梯度及最近一次搜索方向构造了相应的三维子空间.在此基础上,构建了函数的二次近似,在给定子空间中最小化目标函数的二次近似模型,配合使用改进的割线方程和非单调的广义线搜索,得到了基于子空间技术的三项共轭梯度法（TCGS）及动态调整子空间共轭梯度法（DSCG）两种算法.在一般假设条件下,证明了带有Wolfe线搜索的TCGS算法是全局收敛的,同时对于一致凸函数,带有强Wolfe线搜索的TCGS算法是全局收敛的.在更温和的假设条件下,得到带非单调广义线搜索的DSCG算法的全局收敛性.特殊地,对于一致凸函数,DSCG算法产生的点列{f（xk）}R–线性收敛到f（x*）.两种算法在求解一般无约束问题的数值实验中都表现出高效性和鲁棒性.我们还将DSCG算法应用到图像修复中,该算法在改善图片色彩饱和度和清晰度上都有着优异的表现.
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