自由边界问题是非常常见的问题，它存在于伴随着相的变化的能量流动问题和某些扩散问题中。经济学领域中的美式期权定价问题也属于自由边界问题的范畴。它主要是指控制方程的求解区域不是完全己知的，其中未知的部分有时甚至是随时间变化的，它需要随着方程的解一同求出来。在研究自由边界问题时，大家首先会很自然的想到，要改写模型，使自由边界在模型里消失。本文通过引进变分不等式达到了这一目的，从而可以从弱解的意义下来研究自由边界问题的解的性质。对于与自由边界问题等价的抛物型变分不等式的障碍问题，本文对障碍的最优控制做了一定的研究。障碍是原自由边界问题中的解需要满足的某个条件。由于只有很少的一部分自由边界问题能够求出它的解析解，因此，如何用一种高精度的数值方法求解就显的尤为重要。通过对自由边界问题的改写我们很自然想到用变分不等式法求解，即求解它的等价的变分不等式问题。本文采用了有限元法求解变分不等式，并对氧气扩散问题作了数值实验得出结论：变分不等式法在求解自由边界时，存在着较大的误差，所以对于以求自由边界为目的的问题，这一方法不应该是求解时的首选。因此，本文引进了谱方法，同时也对氧气扩散问题作了数值实验，知道了谱方法求解自由边界是非常精确的。另外，本文针对前面的理论，研究了一个比较实际的问题一美式期权定价问题。首先改写此问题为与其等价的抛物型变分不等式模型，利用抛物型变分不等式的极值原理研究了期权价格的性质。然后利用谱方法求它的数值解得到了最佳实施边界一自由边界关于时间的函数图象。由于美式期权定价问题中的初始条件带有弱奇性，不能直接利用谱方法求解，因此本文提出了用磨光函数近似带有弱奇性的初始条件，并证明了近似后的模型的解能够很好的收敛到原问题的解。