1990年，Arnold在苏联数学进展上发表一篇题为“Ten problems，in: Theory of Singularities and Its Applications”的文章，其中第7个问题分为两部分，前半部分是弱化Hilbert第16问题，后半部分是关于第一型完全超椭圆积分是否具有Chebyshev性质的问题.本文围绕第7个问题，研究了三类第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质和六次超椭圆Hamilton函数在二次小扰动下的Abel积分的零点精确个数问题.这是微分方程定性理论和分支理论的一个重要研究课题.　　具体地，本论文做了以下两个工作:一是讨论沿五次超椭圆曲线的第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质，据我们所知，Gavrilov和Iliev（见[81]）首次对第一型完全超椭圆积分开展研究，他们利用第一型微分间的Riemann双线性关系和复延拓技术，研究了五次超椭圆曲线在非分支曲线上的点.得到例外族类超椭圆曲线，沿其第一型完全超椭圆积分满足Chebyshev性质.在他们工作的基础上，我们研究了五次超椭圆曲线在分支曲线上的三个点,发现其中有一类是例外族，有两类是非例外族，我们利用实分析方法，借助符号计算和渐近展式，证明了它们对应的三类第一型完全超椭圆积分具有Chebyshev性质，这说明文章[81]中例外族条件不是第一型完全超椭圆积分具有Chebyshev性质的必要条件，补充了前人的结果.　　二是讨论六次超椭圆Hamilton函数在二次小扰动下的Abel积分零点个数判定问题，该问题可转化为两个沿六次超椭圆闭曲线的Abel积分之比的单调性判定问题，对只包含实临界点的六次超椭圆Hamilton函数，我们完整地给出其水平集的拓扑分类.在此分类的基础上，我们研究沿只包含一个中心的闭轨族定义的两个Abel积分之比的单调性.综合利用文献[80]和[78]中的判别方法和分析技巧我们得到两个Abel积分之比单调或不单调的充分条件，也就是说给出六次超椭圆Hamilton函数在二次小扰动下Abel积分零点个数精确为1或零点个数大于1的充分条件，这是沿六次超椭圆闭曲线的Abel积分零点精确估计较完整的结果.