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本博士后报告利用同调代数和代数表示论的方法对Hopf代数中,特别是交叉积上的,表示不变量进行了研究.
Blattner,Cohen,Montgomery[BCM]和Doi,Takeuchi[DT]等人分别独立地把群交叉积的理论推广到了Hopf代数上,定义并研究了Hopf代数上的交叉积.交叉积作为smash积的推广,在Hopf代数的扩张理论中起着重要的作用.事实上,带有可逆余循环的交叉积就是cleft扩张.通过交叉积,也可构造新的Hopf代数.本报告将交叉积的一些理论推广到更广的Sopf结构:弱Hopf代数中去.
本文的主要内容如下:
1.首先,我们引进了弱Hopf代数上交叉积A＃σH的概念.证明了半单弱Hopf代数上交叉积的Maschke-型定理和有限维弱Hopf代数上交叉积的对偶定理.得到了在弱Hopf代数H和它的对偶空间H*都半单时,交叉积A＃σH和它的不变子代数A具有相同的整体维数,弱维数和有限(finitistic)维数.
2.其次,当H和H*都半单且A是有限维代数时,我们证明了交叉积A＃σH和它的不变子代数A具有相同的表示维数;并且在代数闭域上它们有相同的表示型.另外我们对A＃σH和A上Gorenstein投射模子范畴进行了比较,并证明了A＃σH是CM-有限n-Gorenstein代数当且仅当A也是;进一步得到了它们具有相同的整体Gorenstein投射维数和整体Gorenstein内射维数.
3.最后,我们给出了交叉积代数A＃σH成为弱Hopf代数的一些条件,讨论了带有H-余作用的交叉积的整体维数.在不变子代数A上构造了两个新的H-作甩,研究了A C A＃σH何时为可分扩张,交叉积A＃σH何时成为Nakayama代数.