有限维代数的表示经过三十多年的发展,其方法和工具已渐渐渗透到数学的许多分支.代数表示论的引入给这些领域的研究带来了新的观点和方法.该学位论文主要研究代数表示论在代数的Hochschild同调群和上同调群,Hof代数和量子群这几个当今很活跃的数学分支中的应用.代数表示论中的组合工具--箭图及其表示的发展和应用,为计算有限维代数的Hochschild高调群与上同调群提供了有效的方法.我们将前人的方法加以发展,研究无限维代数的Hochschild同调群和上同调群.特别地,我们计算了无限维路代数以及某些高代数的Hochschild同调群和上同调群,而且给出了一般单项代数（不必有限维）的各正次Hochschild上同调群为零的充分必要条件,即它的Gabriel箭图是有限树.代数表示论的箭图技巧和Auslander-Reiten理论在构造新的Hopf代数和量子群,以及研究它们的表示方面和重要的应用.我们支掉Taft代数定义中的一个限制条件,得到一类自然的非交换非余交换的Hopf代数,即所谓的广义Taft代数.我们利用表示论的方法,证明这类代数是自内射的Nakayama代数,给出其Garbriel箭图以及关系,并确定了它的所有不可分解表示.