布尔函数是流密码和分组密码体制中的核心部件,其性能的好坏直接影响着密码体制的安全性。为了使设计的密码系统能够抵抗各种已有的攻击,要求选用的布尔函数必须满足各种相应的设计准则,诸如平衡性、相关免疫性(弹性)、高代数次数、高非线性度、高代数免疫性等等。因此,如何设计具有某些密码学性质的布尔函数就是一个重要课题。此外,布尔函数中很多问题的研究与代数编码、组合设计以及具有良好性能的信号设计有着非常紧密的关系。本文就布尔函数的一些相关数学问题进行了研究：给出了弹性阶为0的一类最大线性正形置换的构造,以及这类正形置换在构造最优代数免疫函数中的一个应用；研究了布尔函数的弹性阶与代数免疫阶之间的关系；根据弹性函数与正交表的等价性,由一般的弹性函数导出了一系列正交表构型；基于旋转对称1-弹性布尔函数的特征矩阵的性质,得到了这类函数的构造方法及其计数结果；最后研究了一般有限域GF(p)上素数元一阶弹性旋转对称函数的构造与计数问题等。主要得到了如下的研究成果：1.正形置换可以看做是一类弹性阶为0的弹性函数,正形置换的构造问题是当前密码学领域中的一个研究热点。研究了一类最大线性正形置换的构造以及计数问题。结果表明,这类正形置换可以在最大线性移位寄存器上生成,使得最大线性正形置换的生成能够快速实现,进而利用这类最大线性正形置换来构造最优代数免疫函数。2.我们熟知最优代数免疫布尔函数具有非线性度下界、代数次数下界以及汉明重量界等。首次研究了布尔函数的代数免疫阶与弹性阶的关系,给出了最优代数免疫函数的弹性阶上界,并在此基础上进一步研究了该上界的紧性。研究表明,不存在3元最优代数免疫的1-弹性函数,给出了若干同时具有1-弹性和最优代数免疫性的5元函数。实验结果表明,这个弹性阶上界对于6元和7元函数也是紧的,进而对8元函数也同样成立。3.分析了Zhang等人关于弹性函数的构造方法,研究了温巧燕等人构造弹性函数的递归方法,将这类递归方法进一步推广到一般的有限域GF(p)上,由此导出了一大类在试验设计和认证码构造中有着广泛应用价值的高强度对称正交表。在此基础上,借助于拉丁方,得到了一大批参数相同、不同结构的强度t的正交表,得到的这些正交表可以为试验设计者和认证码设计者提供多种选择。4.旋转对称函数是一类具有优良密码学性质的函数,旋转对称布尔函数可以同时是平衡的、相关免疫的、具有较高的非线性度、较高的代数次数以及较高的代数免疫阶等。本文运用特征矩阵分析的方法,分别研究了p元、pq元旋转对称1-弹性函数的构造与计数问题以及2p元2-阶旋转对称1-弹性函数的构造与计数问题。5.在上述旋转对称1-弹性函数构造的基础上进一步研究了旋转对称布尔函数特征矩阵的若干性质,给出了给定变元的旋转对称1和2-弹性布尔函数的构造与计数的一般方法。研究表明旋转对称弹性函数的构造都等价于求解一个相应的线性方程组,并且其个数等于对应方程组的解的个数。6.基于一般有限域上平衡的旋转对称函数的构造与计数的结果,研究了素数元旋转对称函数l-值特征矩阵的性质,在此基础上给出了素数元旋转对称1-弹性函数的构造与计数结果。研究表明,这类函数的构造与计数问题也等价于一个线性方程组系统的求解问题,函数的个数可以通过方程组的解表示出来。当变元个数不太大时,运用此方法可以有效地得到素数元旋转对称1-弹性函数以及计数结果。