多项式系统在众多的领域,如密码,编码,几何建模,计算机图形学,机器人中发挥着重要的作用.因而关于多项式系统算法的研究是符号计算与数学机械化的重要方向.本文研究了多项式系统的若干算法问题,包括多项式系统求解,计算代数簇的集合生成元和二次曲面的碰撞检测.我们的目的是针对这些问题发展高效、可信算法.　　 在本文的第一部分,我们研究了求解多项式系统的问题.在计算机科学和一些重要的工程运用中,求解多项式系统是一个基本的问题.在这一部分,我们给出零维多项式系统零点的线性单变元表示(LUR),将其零点表示为若干个单变元多项式零点的线性组合.这个表示的主要优点是容易控制多项式系统零点的精度.事实上,依据线性单变元表示,为了获得给定精度的多项式系统零点,我们可以给出隔离单变元多项式所需的确切精度.并且零维多项式系统零点的隔离算法容易从它的线性单变元表示推出.　　 在本文的第二部分,我们研究如何计算代数簇尽可能少的集合生成元问题.计算代数簇极小生成元是一件困难的任务.在代数几何中,发现代数簇极小生成元的数目是一个经典的难题.在代数几何领域里的研究,主要关注集合生成元的理论方面,很少提供算法.依据Eisenbud的结果,我们给出一个计算n维仿射空间中代数簇集合生成元的算法,该算法输出的集合生成元个数至多为n.经过少量的修改,该算法对于n维射影空间中的射影簇也是成立的.　　 最后,我们研究了二次曲面的碰撞检测问题.碰撞检测在虚拟现实,计算机图形学,计算机辅助设计与制造等诸多应用领域是一个重要的问题.在这一部分,我们给出了三维空间中两个椭球分离代数条件的一个简短证明.我们证明类似的代数条件对于n(n≥2)维空间也成立.我们提出了n维空间中二次齐次曲面无碰撞的代数条件.以此为基础,我们给出了一个检测二次齐次曲面碰撞的算法.