分数阶微分方程是含有分数阶微分的方程,而分数阶微分算子具有的记忆和遗传性质使得其能更好地模拟某些自然物理现象以及物质的运动变化等复杂过程,因此受到不同科学领域如流体力学、物理学、化学、生物学等领域学者的青睐.但是目前对分数阶微分方程的研究还处于初级阶段,只有极少数分数阶微分方程能求得解析解.因此研究分数阶微分方程的数值解法意义重大.本文以Riemann-Liouville型一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程为研究对象,以求该方程的数值解为研究目标,所做主要工作如下:第一章,简要的介绍了分数阶微积分的历史、分数阶微分方程的研究意义以及国内外研究现状.第二章,给出了一些预备知识,包括分数阶导数的定义、Toeplitz矩阵与循环矩阵以及一些常用函数空间和算子.第三章,结合近年来一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程研究成果,利用有限差分法构造出在时间和空间上均可达到二阶精度中心加权格式,并分析了格式的稳定性和收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性和精确性,并与其它二阶离散格式做了对比.但是中心加权格式无法保证其系数矩阵严格对角占优,这在网格剖分非常细密或空间域较大的情况下,给求解带来一定的困难.第四章,为了改进中心加权格式存在的缺陷,提出了一种新型加权格式.该格式在空间步长与时间步长相等时达到二阶精度,且能保证其系数矩阵严格对角占优.接着分析了格式的解的存在唯一性、稳定性和收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性和精确性.第五章,在充分研究了中心加权格式和新型加权格式系数矩阵的结构后,开发出了一维双边空间分数阶常系数对流扩散方程的快速有限差分法.快速算法在保持与原格式相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(M)的存储量和O(M log~2M)的计算量.最后给出数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.