尽管第一类边界积分方程已为工程界广泛使用,并且实算表明它拥有比第二类边界积分方程更高精度,但由于第一类边界积分方程缺少Fredhlom二择一定理的数学基础,故相关研究不多,且计算方法分析集中在以投影理论为基础的Galerkin方法和配置法.至于解第一类积分方程机械求积法,由于相关的聚紧理论对弱奇异第一类积分方程失效,未得到充分研究.另一方面机械求积法对每个矩阵元素生成只须赋值,不需要如Galerkin法或配置法必须计算二重或一重弱奇异积分,从而节省大量计算而值得关注.但是如何构造恰当求积公式及阐述相应求积方法的可靠性是计算数学的一大难题.该文解决的思路是对前者借助Lyness与Sidi的弱奇异和奇异求积公式,对后者直接估计特殊情形的离散方程本征值上、下界.利用扰动理论,不仅得到机械求积法的合理性,而且得到离散方程条件数仅为O(h<-1>),从而打消了对第一类积分方程数值解不稳定的顾虑.在此基础上我们首次提出了非光滑域上的Laplace方程,Stokes方程,双调和方程,Steklov本征值问题,弹性力学方程、非线性边值问题和三维轴对称方程等科学和工程问题的第一类边界积分方程的高精度机械求积法.如何进一步提高边界积分方程的数值解的精度一直是计算数学的一重要研究课题,多年来数学家们认为核不光滑的积分方程外推缺少理论依据,尤其用求积法解第一类边界积分方程的外推算法,尚未发现满意结果.更不用说分裂外推这种改善精度的新技术.我们利用周期变换,消除了解在角点的奇性.由于各个边的网参数是独立的,导出了误差拥有多参数的奇次幂渐近展开,通过并行地解出粗网格上的离散方程,得到细网格上较高精度的解,从而首次建立了第一类边界积分方程的分裂外推算法.分裂外推不仅得到了近似解的更高精度而且得到后验误差估计.