规范场论作为一种基于物理方程在局部对称变换下恒定的研究理论,能够在现有的知识结构上建立一个统一强相互作用力、弱相互作用力以及电磁相互作用力的标准模型。标准模型的基本组成群为SU（3）×SU（2）×U（1）,它可以拆分成用于描述电弱统一理论的群SU（2）×U（1）和描述量子色动力学的群SU（3）。本文运用非线性σ模型,首次研究了群SU（2）×U（1）和SU（3）的二维对称保护的拓扑相位,同时还研究了这两种群基本组成矩阵的数学结构,并给出了它们之间的映射关系。本文的研究方法和内容包含以下三个方面:（1）研究模型的选择。规范场论在具体的研究计算中会遇到由于非交换规范场的引入而造成的破缺效应。而对称保护的拓扑相位是一种在对称群作用下具有缺口的短程激发量子相位,它非常适用于处理破缺的问题。二维对称保护的拓扑相位模型可以通过非线性σ模型来表示,接着引入对应的探测场,所得的作用量方程可以利用陈-西蒙斯规范理论来处理。原作用量方程在固定点处的物理性质可以用有效作用量来表示,而对该有效作用量关于探测场的分量进行变分,我们可以得到各个分量所对应的响应电流密度方程。通过对于这些方程展开具体的研究,我们可以探究原有模型中的物理性质。（2）计算群SU（2）×U（1）和SU（3）二维对称保护的拓扑相位。从数学的角度看,群SU（2）和SU（3）都是非交换的酉群,而群U（1）作为一维可交换群作用在群SU（2）上,这使得SU（2）×U（1）和SU（3）都可以看作是拥有三个自由度的群。随后我们从代数几何的角度着手,分别计算了这两种群的群上同调,发现了它们的二维群上同调都是Z,因而可以给定它们非线性σ模型并采用非交换的陈-西蒙斯规范理论进行讨论。（3）有关群SU（2）×U（1）和SU（3）之间映射关系的研究。为了从最基本的层面分析群SU（2）×U（1）和SU（3）之间的关系,我们分别从它们的基本组成矩阵入手,发现了它们之间存在某种微妙的联系。然后我们给出了群SU（2）与SU（3）之间三种可行的映射关系,以及引入了群U（1）在几何层面和群表示层面的旋转作用。通过合理的计算及分析,我们可以将通过这种映射关系将群SU（2）×U（1）和SU（3）联系起来。通过分析计算结果主要得到以下结论:（1）根据群SU（2）×U（1）和SU（3）的二维群上同调得到的相同的计算结果表明,它们所对应的对称保护的拓扑相位在非线性σ模型中的作用量方程以及在陈-西蒙斯规范理论定义下的有效作用量方程都非常类似。然后我们分别对这些作用量方程关于探测场分量进行变分计算,可以得到二者结构相同的响应电流密度,它们都可以用于描述量子霍尔效应,并且量子化参数相等。（2）群SU（3）基本矩阵的子集可以看作是群SU（2）基本矩阵的三阶拓展,为此,我们建立了这两种矩阵之间的三种映射关系,并令群U（1）为一个旋转作用群。随后,分别从几何层面和群表示层面来描述了群旋转作用的具体定义以及映射关系成立的条件。最后,我们发现了群SU（3）和SU（2）之间的映射关系可以通过上述的做法联系起来,因此可以看出群SU（2）×U（1）和SU（3）之间无论在数学结构还是物理含义上都具有高度的相似性。