【摘 要】
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本文研究了非局部扩散方程的Fisher-KPP问题,ut=J*u-u+f（u）,t＞0,0＜x＜h（t）,其中u在[0,h（t）]的两端分别满足Dirichlet固定边界条件和Stefan自由边界条件.在生态学领域,此模型可以用来描述新物种或入侵物种的扩张问题.我们给出了全局解的存在唯一性,扩散-消逝的二择一性,扩散发生的充分条件,以及扩散发生时自由边界的渐近速度的估计.首先,在一个半无界区间上构
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本文研究了非局部扩散方程的Fisher-KPP问题,ut=J*u-u+f（u）,t＞0,0＜x＜h（t）,其中u在[0,h（t）]的两端分别满足Dirichlet固定边界条件和Stefan自由边界条件.在生态学领域,此模型可以用来描述新物种或入侵物种的扩张问题.我们给出了全局解的存在唯一性,扩散-消逝的二择一性,扩散发生的充分条件,以及扩散发生时自由边界的渐近速度的估计.首先,在一个半无界区间上构造一个常微的辅助问题,利用压缩映射原理证明其局部解的存在唯一性.再通过此解及自由边界条件定义出新的自由边界,这样又形成一个压缩映射,从而得到原问题存在唯一的局部解,最后利用强极值原理得到解可以延拓到全局.然后,对相应的本征值问题进行分析,得到区间[0,l]（l≤+∞）上平衡解的存在唯一性.并证明得到初值问题的解会收敛到半无界区间上唯一的平衡解V0（x）.再利用这些特殊的解构造上下解给出原问题的扩散-消逝二择一性,即解要么在一个有限区间上一致收敛于0,此时称为消逝发生;要么在半无界区间上局部一致收敛于V0（·）,此时称为扩散发生.接着又讨论了扩散发生的充分条件.我们得到:当内禀增长率f’（0）≥1时,扩散一定发生.当f’（0）∈（0,1）时,如果初始宽度h0足够大,那么扩散也一定发生;如果h0比较小,那么只需让扩张系数充分大,扩散也能发生.最后我们构造合适的上下解,证明得到当扩散发生时,自由边界的渐近速度就是唯一的半波的速度.
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