黎曼曲面是为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面，其几何性质是最妙的，它也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广提供了直观的理解和动力。　　黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与众多的现代数学分支有紧密联系，如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、自守函数等，本文研究就是黎曼曲面与抽象代数的结合。　　本文主要分为一下几个部分:　　引言部分主要介绍了研究一般线性群的子群在紧黎曼曲面上可实现问题的动机，和前人研究的一些成果。　　第一部分介绍了一些群论的相关知识，包括群的定义和基本性质，群之间的同构以及自同构的意义，商群和一般线性群的定义以及性质，在最后还详细介绍了本文将考虑的四元数群。　　第二部分介绍的是黎曼曲面的相关知识，包括黎曼曲面的定义和相关性质，福克斯群的定义和性质，最后重点介绍了紧的黎曼曲面是如何通过到向量空间的全纯微分映射构成自同构矩阵群的。　　第三部分详细列举了在证明过程中将会用到的定理和引理。本文定理都是前人研究的成果，在本文中直接给出不加以证明，其具体的证明过程可以在本文最后给出的参考文献中找到。本文的引理是为了得到最终结论所必需的一些结论，在本文中都给出了详细而完整的证明。　　第四部分是本文的核心部分，介绍的是整个主定理的证明过程，包括必要性和充分性两个部分。　　最后一部分对本文进行了总结，谈到了证明本文论题过程中受到的一些启发和走过的一些错路。