长期以来,人们希望通过利用量子计算原理克服现有传统计算机技术无法克服的一些困难。而量子随机行走作为经典随机行走的量子对应,恰好成为了人们研究量子计算所需要的一种强有力的工具。在此背景下,本文以量子随机行走模型及相关理论为核心,进行了有关图上量子随机行走、利用量子行走实现的量子门构建以及量子行走系统退相干等问题的研究。在第一章,我们介绍了量子随机行走的发展背景及量子随机行走系统的基本数学模型。在此基础上,我们回顾了基于量子随机行走模型实施的量子算法及量子随机行走与通用量子计算两者相关的研究进展。此外我们也介绍了关于量子随机行走的相关实验方面的进展。在第二章,我们利用格林函数方法研究了三叉图上连续时间量子随机行走模型中量子态的时间演化问题。我们从解析计算结果中得出三叉图中链长的奇偶性会直接影响量子态的时间演化行为和统计特征,并利用数值模拟,验证了这一结论。对于该结论,我们也建立了相关物理图像并提供了物理解释。该章最后我们还提出了关于该模型的实验方案。在第三章,我们研究了一种具有特殊阿贝尔对称性图上的连续时间量子随机行走问题。我们提出了利用该种图上连续时间量子随机行走实现量子门的新方案。利用该方案,我们可以通过量子随机行走系统实现有效的单量子比特非门和多量子比特控制门。此外我们也提出了两种实现该模型的实验方案。在第四章,我们在进一步讨论了高斯噪声对我们所提出的有效量子门系统的影响。我们发现在绝热近似成立的情形下,系统对退相干行为和噪声的时间关联函数之间有着密切的联系。我们利用密度矩阵平方的迹来刻画系统的相干性,并具体研究了在常数谱、洛仑兹型谱、高斯型谱和1/f型谱等四种特殊的关联谱下系统的退相干行为。我们发现,对于常数谱、洛仑兹型谱和高斯型谱三种情形,密度矩阵平方迹的自然对数正比于时间;对于1/f型谱结论会略显复杂,即在短时极限下,密度矩阵平方迹的自然对数正比于时间的平方,在长时极限下,密度矩阵平方迹的自然对数趋于一常数。在上述各种情况下,我们针对各种类型噪声提出了抑制退相干的抑制方案。我们也通过数值模拟验证了方案的可行性。在第五章,我们通过坐标Bethe Ansatz的方法研究了一种双全同粒子量子随机行走模型的可积性问题,发现该模型具有非阿贝尔对称性。我们探讨了全部不可约表示子空间中的可积性问题,并找到了全部可积的子空间并给出了准动量所满足的方程。对于每个可积的子空间,我们验证了Bethe Ansatz解的自治条件。我们发现对于高维不可约表示子空间自洽条件是非平庸的。对于不可积子空间存在的原因,我们也给出了解释。在第六章,我们对全文做了一个简要的总结。