本文利用信息几何的方法研究了统计流形和矩阵流形的几何结构及其应用。首先,对两类熵动力流形的几何结构和局部不稳定性进行了研究；其次,利用自然梯度下降算法分别研究了广义正交群SO(n,k)和庞加莱群P(n,1)的黎曼均值问题；同时也研究了特殊欧几里德矩阵系统SE(n)的最优控制问题；并针对一般线性群和黎曼流形的变分问题展开讨论,得出与传统的变分问题相似的结果；最后,研究了B-spline流形的几何结构和相关性质。本文共分为六章。第一章简要介绍了信息几何研究范畴,阐述了文中要研究的主要内容以及相关知识背景,并概述文中研究结果。第二章讨论了两类分别由三个经典概率密度函数的联合分布构成的熵动力流形。借助于信息几何定义,在两类熵动力流形上定义Fisher黎曼度量,给出相应的几何结构以及各自Jacobi向量场的性质,得出流形的局部不稳定性。在第二类熵动力流形中还特别给出了描述系统混沌状态的另一重要指标-Lyapunov指数,从而更有力地说明了第二类流形所呈现的局部不稳定性。最后对各自子流形的几何结构和性质特别是局部不稳定性进行了类似的讨论。第三章主要研究了两个特殊李群-广义正交群和庞加莱群的黎曼均值问题。这两种群无论在理论上还是在实际应用当中都是具有重要地位的非紧致李群。借助于左不变度量可以得到这两类矩阵李群中两点间的测地距离,并基于这种测地距离,用自然梯度下降算法分别讨论这两类矩阵群的黎曼均值,给出黎曼均值的表达式和性质。两类群中任意n个给定点的黎曼均值为这n个点到某定点的距离之和达到最小值的点。在章末给出特殊广义正交群和庞加莱群的黎曼均值的数值模拟来说明本章所得结果。第四章基于自然梯度下降算法研究了特殊欧几里德群SE(n)系统的控制问题。本章描述的最优控制问题为通过调节控制系统的输入使得系统的输出矩阵尽可能地接近给定的目标矩阵。输出矩阵和目标矩阵之间的距离用测地距离来表示,通过迭代过程得到从初始的输出矩阵到最终的输出矩阵过程中控制输入的轨线。最后利用特殊欧几里德群系统的最优控制问题的数值模拟演示所得结论。第五章主要讨论了一般线性群GL(n,R)和黎曼流形的变分问题。得到一般线性群GL(n,R)和黎曼流形各自的欧拉方程,使得对应泛函达到最小。研究发现,一般线性群GL(n,R)和黎曼流形同样满足变分原理并具有经典的变分性质。正定矩阵流形PD(n)作为一般线性群的子流形,它的变分问题也得到了讨论,同时关于PD(n)的二阶变分实例在本章最后给出。第六章研究了B-spline流形几何结构和性质。求得包括黎曼曲率张量Rijkl、 Ricci曲率张量等相关几何量,并得出B-spline流形是±1平坦的流形,同时通过算例验证文中所得结果的合理性。