三角代数是一类很重要的代数，其重要性除了体现在其自身具有良好的性质之外，还体现在它包括很多重要的代数作为其例子，如上三角矩阵代数、套代数等等．本文主要研究三角代数上的双线性映射的中心迹，及其在李理论和算子理论中的应用，重点刻画三角代数上的李三同构．具体研究目标以及获得的结论如下．第一，研究三角代数上的双线性映射的中心迹.在此部分中，我们采用了多次线性化的方法来解决问题，通过复杂的计算得到三角代数上的双线性映射的中心迹在一个比较宽泛的条件下是proper的，从而推广了Benkovic和Ermita [1,定理3.1]的结论．第二，利用第一步获得的结论研究三角代数上的李三同构．这一部分，我们首先大体沿着Bresar在文章[2]中研究中心迹与李三同构的联系的思路进行，刻画出三角代数上的李三同构的近似标准形式．利用这一结论进而证明出了交换整环上的三角矩阵代数和套代数上的李三同构具有标准形式．泛函恒等式理论的研究起源于上世纪九十年代Bresar对于交换映射和双可加映射的交换迹的研究，这一理论被应用于证明一些环上满足一定恒等关系的映射，泛函恒等式理论对于刻画结合环的结构性质有着非常重要的理论价值[3]．众所周知，李同构和Jordan同构是李三同构的特殊形式．本文利用李三同构的观点给出李同构和Jordan同构在三角代数上的统一描述，这些内容使得本文成为三角代数上泛函恒等式理论的重要组成部分．