B方法是近年发展起来的数值求解非线性抛物型偏微分方程中爆破解（b1ow-up so-1ution）的一种高效算法.2015 年,B 方法由 Beck 等[13]提出,旨在求解具有爆破现象的二阶非线性抛物方程,因而以爆破（blow-up）的英文首字母命名.注意到在临近爆破时间时,非线性抛物方程的解具有较大的变化率和数值,其相对于空间导数项对解的扰动是占优的,因而B方法在设计时借助常微分方程理论中常用的变易常数方法,在抽象空间先精确求解对爆破现象起重要作用的非线性常微分方程,再利用变易常数方法将对解的爆破行为影响较小的空间导数部分引入数值格式设计.B方法在设计的过程中充分考虑了解的几何性质,是对传统时间离散格式的改进,可以认为是一种特殊的保持解的几何结构的数值方法.本文主要应用B方法数值求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程、二阶对流反应扩散方程和具有猝灭解的二阶非线性抛物方程这三类问题,针对每个具体问题构造相应的数值求解格式,分析数值解的存在唯一性和局部截断误差,并进行数值实验验证所得结论.本文结构如下:第一章,首先对非线性抛物方程的背景和研究近况做简要介绍,概述B方法的提出和发展过程;其次对本文研究的三个数学模型的物理背景及研究现状进行概述;最后,介绍B方法数值格式的构造方法.第二章,首先使用B方法求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程,推导相应B方法的多种数值格式,并以其中VCFE格式为例分别给出了 B方法数值解的局部截断误差和相应传统方法（向前Euler法）数值解的局部截断误差,进而通过比较证明了 B方法的局部截断误差小于传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散四阶非线性抛物方程,得到一族四阶椭圆方程,我们应用上下解理论证明了此方程解的存在唯一性,进而得到VCBE格式数值解的存在唯一性.最后,通过数值算例验证了求解这一问题的B方法数值解的误差在相同条件下小于相应传统方法数值解的误差.第三章,我们运用B方法求解具有爆破解的二阶对流反应扩散方程,推导相应的B方法的多种数值计算格式,以VCFE格式为例,证明了 B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散对流反应扩散方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式数值解的存在性.并通过数值算例验证了在时间步长相同的情况下,B方法数值解的误差比相应传统方法的数值解误差更小.第四章,将B方法推广到具有猝灭解的二阶非线性抛物方程.首先,我们仍然先精确求解方程的非线性部分,再利用变易常数法的思想,引入方程的线性部分（空间导数部分）,进而推导出B方法的多种数值格式.其次,以VCFE格式为例,证明B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差,并用B方法的VCBE格式离散二阶非线性抛物方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式解的存在性.最后,通过数值实验使用B方法对猝灭时间在数值上进行估计,验证B方法对于具有猝灭解的方程数值求解的适用性.第五章,我们对本文工作进行了总结.