论文部分内容阅读
作为一类近几年发展起来的数值计算方法,无网格方法数值求解非线性动力学问题一直是计算力学领域的重点研究内容之一。无网格方法主要是通过对局部离散点的近似求解,从而得到全局的近似求解。由于该方法的求解完全不依赖于背景网格,求解高维高阶的非线性动力学问题,如高维高阶抛物型偏微分(描述温度变化的热传导问题)、麦克斯韦方程组(描述电磁相互作用)和非线性薛定谔方程(NLSE)(描述物理学中孤立波现象的量子力学问题)时具有明显的优势。近年来,有限点集法(FPM)作为一种粒子方法已广泛应用于计算物理及相关力学领域。然而,目前还鲜有高维高阶非线性动力学问题的FPM方法数值模拟研究报道,主要原因是已有FPM方法存在稳定性差、精度低和计算效率低等缺点。因此,为了提高FPM求解高维高阶抛物型偏微分方程的数值精度和稳定性,本文首先基于Taylor展开和连续一阶导数的思想,将高阶导数降为一阶导数,建立了可准确施加Neumann边界条件的修正FPM方法。模拟结果表明修正FPM方法能够准确可靠地模拟高阶抛物型偏微分方程。其次,针对传统FPM方法求解三维高阶抛物型偏微分方程的计算效率低问题,结合MPI并行技术,提出了具有更高的数值精度和稳定性的三维修正并行FPM(I-FPM-3D)方法;然后,将上述修正FPM方法推广应用于描述电磁相互作用的麦克斯韦方程组问题的求解,为接下来求解具有二分量的非线性薛定谔方程提供了依据;最后,将I-FPM-3D方法拓展到高阶非线性薛定谔方程,结合高阶分裂格式思想,给出一种能够准确、高效求解高维高阶非线性薛定谔方程的高阶分裂修正并行FPM(HSS-IPFPM)方法。本文的主要工作如下:(1)为了提高传统FPM方法求解高维高阶抛物型偏微分方程的精度,本文基于Taylor展开,将高阶导数进行连续降阶为一阶导数,而每个一阶导数采用修正FPM方法求解,提出了一种修正FPM方法。(2)为了提高高维高阶抛物型方程的计算效率,结合MPI并行计算技术,提出一种三维修正并行FPM(I-FPM-3D)方法。数值模拟不同边界条件下带有解析解的高维高阶抛物型方程,并分析比较不同CPU个数下的计算效率。模拟结果表明,I-FPM-3D方法能够准高效地求解具有Dirichlet和Neumann边界的高维高阶抛物型方程;I-FPM-3D能够稳定地求解高维高阶抛物型偏微分方程,且具有二阶精度和较好的收敛性;I-FPM-3D对混合边界下高维高阶抛物型方程问题的模拟是准确的。(3)运用上述提出的I-FPM-3D方法对二维电场/磁场麦克斯韦方程组进行求解,并将数值结果与有限差分方法作比较。结果表明:给出的I-FPM方法能够准确可靠地求解二维电场/磁场麦克斯韦方程组问题,与网格类方程相比有较好的收敛性,与无网格SPH方法相比具有更好的数值精度和收敛性。(4)由于非线性薛定谔方程存在非线性项和源项,运用修正并行FPM求解复数域内的非线性薛定谔方程时,随着计算时间的延长会出现数值模拟不稳定现象。因此,在上述修正并行FPM方法中引入高阶时间分裂格式,给出了一种基于高阶分裂格式的修正并行FPM(HSS-IPFPM)方法。随后,模拟研究几种不同类型的非线性薛定谔方程,并与其它数值结果进行比较,并考察不同CPU个数下的计算效率。数值结果表明,提出的HSS-IPFPM方法能够高效准确地求解高维非线性薛定谔方程,具有高于二阶精度和较好的稳定性,能够准确地模拟预测非线性孤立波奇异现象和量子化涡旋过程。