边缘和纹理信息是图像的重要组成部分。在图像处理和图像分析过程中需要对其有效的保持。为了保持这些信息,在图像建模过程中需要采用一些能够描述图像纹理和边缘的算子。例如,分数阶微分以其特有的性质在图像处理和视觉分析中得到了较好的应用。本学位论文的内容主要是对图像复原和图像分割的研究,其主要综合了泛函分析理论、偏微分方程和数值计算中的基本理论,提出一些基于变分和偏微分方程的图像复原和图像分割模型。所提复原模型的数值试验结果显示可以较好的恢复一幅退化后的图像,分割模型可以得到较好的分割效果,为图像的进一步处理如图像识别、图像序列分析及其他图像分析打下良好的基础。　　本文对偏微分方程在图像复原和图像分割方面的应用进行了深入研究,主要工作有:　　1.提出了分数阶全变差正则化的图像超分辨模型　　偏微分方程基于的图像复原模型可根据其微分方程由来的方式分为两类:根据能量泛函导出的偏微分方程图像复原模型和直接设计出满足具体要求的偏微分方程图像复原模型。其中,基于能量泛函的图像复原模型涌现出许多经典的模型,如全变分模型。全变分模型是Rudin、Osher和Fatime等人利用局部梯度的L1范数作为度量提出了经典的TV(Total Variation)正则化的方法。在此基础上,许多研究者展开了后续研究。　　全变分模型可被看作是几何扩散驱动的图像处理模型,其主要优点是在恢复图像的过程中较好地保持了图像的边缘信息。然而,其在保持图像边缘时不可避免地产生了块状效应,大量丢失图像的纹理细节信息。而大量研究表明,分数阶微分具有非局部的性质,可以较好地描述图像的纹理细节信息。基于此思想,本文提出了分数阶全变分正则化的图像超分辨模型。此模型中包含两个正则项:传统的全变分正则项,其主要用于保持图像的边缘信息;分数阶全变分正则项,其主要用于保持图像的边缘细节信息,避免出现块状效应。　　2.提出了分数阶双方向扩散的图像上采样模型　　在图像的上采样过程中,保持图像的边缘和纹理信息是一个十分重要且比较困难的问题。然而,许多模型在图像重构的过程中出现图像边缘的模糊、阶梯边缘和伪边缘的产生等不良效应。为了得到一个带有清晰且光滑边缘的上采样图像,本文提出了分数阶的双方向扩散图像上采样模型。该模型是属于直接设计偏微分方程的方法,其对应的演化扩散方程包含三项:图像的正则项、图像增强项和数据保真项。图像增强项包含了图像的Laplacian和分数阶梯度信息,其可以完成一个双方向扩散的行为,且在图像边缘两侧形成相对比较低的对比度,符合人的视觉系统。根据图像的特征信息,边缘较亮的一侧在这个双扩散中发生向前扩散,边缘较暗的一侧进行向后扩散。实验结果也显示了所提模型的有效性。　　3.提出了结合过渡区域的两步变分分割模型　　图像的过渡区域是在几何上坐落于图像的目标和背景之间,其像素也由目标和背景的灰度像素组成。由于过渡区域的信息有助于图像的目标和背景之间的分离,其在图像分割中得到了广泛的使用。现今,过渡区域主要应用于阈值分割方法中,而在变分水平集方法中未得到应用。　　本文基于过渡区域的提取提出了两步变分水平集图像分割方法。首先,我们基于形态学梯度提出一种过渡区域提取的方法,其不同于以往的提取方法。其次,过渡区域被融入到一个变分水平集分割框架中。这个变分泛函包含了长度正则项,结合过渡区域信息的外能量项和惩罚水平集函数的内能量项。其中,外能量项驱动零水平集向目标边界运动。所提的模型可以大大降低了对初始轮廓的依赖程度,且其对噪声具有较强的鲁棒性。实验结果显示了所提模型的有效性,其可以应用到多种类型的图像中,如红外图像皮肤癌图像和医学CT图像等。