【摘 要】
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脉冲微分方程是一类有着广泛应用的数学模型.近年来,有关脉冲微分方程的理论研究取得了极大进展,特别是解的定性理论研究（包括周期解、正解、多解的存在性、有界性等）.然而有些理论研究还处于初级阶段.本文主要建立两种脉冲微分方程模型,在已有研究成果的启发下,得到某种程度上更具实用价值的结论.本文重点研究固定脉冲微分方程mild解和随机脉冲微分方程多解的存在性,针对不同类型的脉冲微分方程分别建立相应的求解框
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脉冲微分方程是一类有着广泛应用的数学模型.近年来,有关脉冲微分方程的理论研究取得了极大进展,特别是解的定性理论研究（包括周期解、正解、多解的存在性、有界性等）.然而有些理论研究还处于初级阶段.本文主要建立两种脉冲微分方程模型,在已有研究成果的启发下,得到某种程度上更具实用价值的结论.本文重点研究固定脉冲微分方程mild解和随机脉冲微分方程多解的存在性,针对不同类型的脉冲微分方程分别建立相应的求解框架,继而利用半群理论、锥理论及拓扑度理论得到相应方程mild解及多解存在性的充分条件.本文的主要内容包括以下四个部分.第一章首先介绍固定脉冲和随机脉冲微分方程的发展历史,脉冲微分方程周期解及多解理论的研究进展,接着引入本文研究的主要内容,最后给出论文的预备知识.第二章研究一类黎曼型分数阶脉冲微分方程渐近概周期mild解的存在性和唯一性理论.首先,利用黎曼分数阶Laplace变换得到微分方程积分形式解,进而定义一个新的mild解.然后基于半群理论,构造恰当的算子并利用Krasnoselskii’s不动点定理证明该方程渐近概周期mild解的存在唯一性.最后通过实例验证所得结论的正确性和有效性.第三章研究一类随机脉冲微分方程两点边值问题多解的存在性理论.首先,借助随机分析技巧和Green函数导出方程的系统解,并根据解的特征定义恰当的锥和全连续算子.然后在p-范数下,分别利用锥中的不动点指数定理和LeggettWilliams定理给出方程至少存在二解和三解的充分条件.第四章研究一类具有Nagumo’s条件的随机脉冲微分方程边值问题多解的存在性理论.首先,借助Green函数获得方程解的积分形式并定义相应的上下解.随后,利用非线性函数的Nagumo’s条件,在定义的空间中利用Leray-Shauder度理论结合上下解方法,得到二阶随机脉冲微分方程三个解存在性结果,最后利用实例证明所得结果的正确性和有效性.
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