众所周知，非线性微分方程的边值问题比线性微分方程的边值问题更难求解，特别是使用解析方法求解.基于拓扑理论中的同伦思想，廖世俊提出求解非线性微分方程解析近似的同伦分析法，该方法为非线性边值问题的求解提供了一种新的研究手段和思路，并在科学和工程的很多领域得到应用.本论文侧重同伦分析方法本身的改进和优化，从而为非线性边值问题提供更加有效的解析近似求解工具，而不是应用现有的方法求解新问题，主要内容如下:　　首先，本文提出了一种应用同伦分析法求解某些具有奇性微分方程的思路，并将之用于定义在半无穷区间且在初始点具有奇性的Thomas-Fermi方程.利用渐进性质和一些优化技术，获得Thomas-Fermi方程快速收敛的高精度解析近似解，给出的初始斜率值准确至小数点后10位，这一结果远远好于之前所有利用同伦分析法得到的结果.与此同时，发展了同伦分析法中辅助线性算子的优化技术，通过在逆线性算子中引入一个优化参数，可以在一大类线性算子中选择较优的算子.　　其次，本文推广了同伦分析法中的拟合迭代技术，对半无穷区间上的两类基函数提出了快速拟合右端项的方法.应用Schmidt-Gram正交化过程，构造半无穷区间上两类典型基函数的标准正交基，进而对高阶形变方程的右端项做拟合截断，给出快速拟合右端项的实现方法，以一定的精度损失为代价达到了有效控制近似解项数增长的目的.通过求解三个半无穷区间上的边界层流动问题，说明了迭代方法的有效性.　　再次，本文初步提出了在同伦分析法的框架内通过直接定义逆线性算子的方式来求解非线性微分方程.采用直接定义逆算子的方式求解了一个非线性特征值问题，并说明：虽然从某些直接定义的逆算子导出的辅助线性算子或许不能写成显式微分形式，但是采用这些直接定义的逆算子依然能够获得较快收敛的近似解.这一发现扩大了辅助线性算子的选择范围.　　最后，本文介绍了基于同伦分析法开发的非线性边值问题求解软件BVPh2.0.与其前一个版本BVPh1.0相比，BVPh2.0有如下优点：可以求解非线性常微分方程组；可以求解多层流动问题；提供了一些特别有用的函数；采用更高效的算法重写了一些模块，计算速度更快.　　从本论文的研究中，可以深刻体会到同伦分析方法的灵活性和普适性.通过让方程的误差最小，为选取较优的辅助参数提供了一个统一途径.同伦分析法提供的各种自由(如自由选取线性算子、初始猜测解等)为求解非线性问题解析近似解开辟了巨大的想象空间.