在本论文中，对某个生态系统多个正周期解的存在性证明，我们先应用Mawhin延拓定理将所研究的生态系统的正周期解的存在性问题转化为一个算子的不动点的存在性问题.然后应用各种不等式技巧找到各个正周期解的存在区域.最后，在所找到的每个区域上验证Mawhin延拓定理的全部条件成立，从而就证明了该生态系统存在多个正周期解.对时间尺度上的反应扩散递归神经网络的平衡解的全局指数稳定性的证明，我们首先利用拓扑度定理证明了该反应扩散递归神经网络的平衡解的存在性.然后通过构造适当的Lyapunov泛函来证明时间尺度上该反应扩散递归神经网络的平衡解的全局指数稳定性.全文共分八章.　　 第一章分别简述了研究生态系统多个正周期解的存在性和研究时间尺度上的反应扩散递归神经网络全局指数稳定性的意义和现状，并提出本文要做的主要工作.　　 第二章首先简述了我们要用到的拓扑度理论和Mawhin延拓定理，然后简述了时间尺度及时间尺度上的微积分的概念和相关性质.　　 第三章应用Mawhin延拓定理和不等式技巧证明了一类具有收获项的非自治Lotka—Volterra食饵—捕食系统至少四个正周期解的存在性并举例说明所得结果的有效性.　　 第四章应用Mawhin延拓定理和不等式技巧证明了具有收获项的两物种寄生系统至少四个正周期解的存在性并举例说明所得结果的有效性.　　 第五章应用Mawhin延拓定理和不等式技巧证明了具收获项的n物种非自治食物链系统的至少2n个正周期解的存在性并举例说明所得结果的有效性.　　 第六章首先利用拓扑度定理和M-矩阵证明了时间尺度上具有Dirichlet或Neumann边值条件的反应扩散递归神经网络平衡解的存在性.其次，在一些充分条件下，通过构造适当的Lyapunov泛函证明了该神经网络平衡解的唯一性和全局指数稳定性.举了两个实例说明所得结果的有效性.　　 第七章首先利用拓扑度定理和M-矩阵证明了时间尺度上具有Dirichlet或Neumann边值条件的反应扩散时滞递归神经网络平衡解的存在性.其次，在一些充分条件下，通过构造适当的Lyapunov泛函证明了该神经网络平衡解的唯一性和全局指数稳定性.举了两个实例说明所得结果的有效性.　　 第八章首先利用拓扑度定理和M-矩阵证明了时间尺度上具有Dirichlet或Neumann边值条件的反应扩散无穷分布时滞递归神经网络平衡解的存在性.其次，在一些充分条件下，通过构造适当的Lyapunov泛函证明了该神经网络平衡解的唯一性和全局指数稳定性.举了两个实例说明所得结果的有效性.