多点边值问题是一类典型的非线性问题,它广泛地出现在物理、工程、生物等众多领域,可用于刻画多点支持桥梁、弹性稳定性理论以及有N部分不同密度组成均匀截面的悬链线等现象。本论文的第一部分主要研究一类多点边值问题,内容包括：一、多点边值问题解的存在性以及解的相关性质；二、由于此类问题一般无法求出解析解,我们给出一些有效的数值解法。第一部分主要研究多点支持桥梁所满足的二阶三点边值问题,我们分别在共振和非共振情形证明了此类问题无穷多解的存在性,并针对具体问题提出了有效的数值解法。多点支持桥梁满足以下二阶三点边值问题：其中λ≥0,β∈[0,1],α.β∈[0,1]我们分别考虑了以下三种情况：α·β=1,λ=0,（2） α·β=1,λ>0,（3） α·β＜1,λ>0,（4）通常称条件（2）为共振条件,而称条件（3）和（4）为非共振条件.定义1称函数u*∈C2[0,1]为（1）的下解,如果u*满足定义2称函数u*∈C2[0,1]为（1）的上解,如果u*满足引理1（定理1,[91]）假设以下三个条件同时成立：（A1）λ≥0,β∈[0,1];（A2）f（·,·）是定义在（0,1）×R上的实函数,且满足（i）对每一个确定的u∈R,f（·,u）在（0,1）上是可测的,（ii）f（t,·）在t∈（0,1）上是几乎处处连续的,（iii）对任意给定的N>0都存在一个函数kN（t）∈E,使得|f,（t,u）|≤kN（t） t∈（0,1）,u∈[-N,N],其中E:={h（t）∈Llocl（0,1）；‖h‖EE≤+∞}是完备的Banach空间（A3）（1）有下解u*（t）和上解u*（t）.且当t∈[0,1]时u*（t）≤u*（t）则边值问题（1）存在一个解u0（t）,且u*（t）≤u0（t）≤u*（t）.我们首先利用上下解方法来证明二阶三点边值问题无穷多解的存在性,然后利用打靶法将边值问题转化为初值问题,再利用牛顿迭代法来进行数值求解,最后给出相应的数值模拟,从而验证了该方法的有效性及可行性。第一部分的主要结构如下：第一章是研究背景及现状。在1.1节中,简要介绍了多点边值问题的应用背景；1.2节中针对二阶三点边值问题解的存在性以及求解此类问题的数值解法,概述了相应的研究历史以及研究现状；在1.3节中,简述了本文的主要工作。第二章研究二阶三点边值问题解的存在性问题。首先简要介绍了研究二阶三点边值问题所需要的基本概念及其相关结果,然后利用上下解的方法,针对不同实际问题证明了二阶三点边值问题无穷多解的存在性。第三章提出了一种求解二阶三点边值问题的有效数值解法,并针对具体问题给出了相应的数值模拟,进而验证了该方法的有效性和正确性。第二部分主要研究拓扑作用函数。在文献[95]中,王俭将经典的作用函数推广到了哈密顿同胚映射F情形,其中F是亏格大于等于1的有向闭曲面M上的一个同痕的时间1-映射,他对测度也进行了推广,但是推广后的测度没有原子（即该测度在该集合上没有单点具有正测度）在F的可缩不动点上,且F的可缩不动点的缠绕数的集合满足某一种有界性条件.即测度有全支集情形,我们针对王俭结果的一种特殊情形,给出一个简单证明.王俭推广的经典作用函数的结果叙述如下：定理1（[95]）设M是一个亏格g≥1的有向闭曲面, F是M上的恒等同痕I的时间1-映射.假设μ∈M（F）在集合FixCont,I（F）上没有原子（即该测度在该集合上没有单点具有正测度）,并且满足ρ（μ）=0.则经典的作用函数可推广到如下情形：F是一个微分同胚映射（不必是C1）;I满足WB-性质,且测度μ具有全支集;I满足WB-性质,且测度μ是遍历的.本文将给出上述定理中第二种情形的一个简单的证明，从而使得人们能更容易的理解推广的拓扑作用函数。第二部分的主要结构如下.第四章主要介绍拓扑作用函数的研究背景及现状，并阐述了我们的主要结果。在第五章中,我们介绍一些符号，基本概念和Brouwer同胚理论的一些重要结果。特别介绍弱有界性和正常返点上的缠绕数的定义。第六章阐述辛几何中的经典作用函数，并将其推广到一种简单的情形。然后，基于一个关键的命题，我们将作用函数推广到更一般的情况。具体来说，得到以下结果：定理2（主要结果）设M是一个亏格g≥1的有向闭曲面, F是M上的恒等同痕I的时间1-映射.假设μ∈M（F）在集合FixCont,I（F）上没有原子,具有全支集,并且满足ρ（μ）=0.如果I满足WB-性质,那么拓扑作用函数是良定义的.最后给出证明定理2需要的一个关键命题的证明。命题1（主要命题）假设F是M上的一个μ-辛映射,它相应的同痕I满足弱有界性条件.假设μ在FixCont,I（F）上没有原子,那么对F的任意两个不同的不动点a和b,以及对几乎每一个常返点z, i（a, b, z）存在且有界,并且这个界只依赖于a和b.