【摘 要】
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伪黎曼流形是一类赋予伪黎曼度量的微分流形,是黎曼流形的一种推广.特别地,完备、单连通的常曲率伪黎曼空间称为伪黎曼空间形式.本文主要研究具有任意指标伪黎曼空间形式Nqn+p（c）中一类子流形的刚性问题.对于任意指标伪黎曼空间形式中的类空子流形,它的第二基本形式或是类时的,或是类空的,或是类光的.对此,本文着重考虑第二基本形式局部类时的情况,运用活动标架与张量分析相结合的方法,系统研究线性Weinga
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伪黎曼流形是一类赋予伪黎曼度量的微分流形,是黎曼流形的一种推广.特别地,完备、单连通的常曲率伪黎曼空间称为伪黎曼空间形式.本文主要研究具有任意指标伪黎曼空间形式Nqn+p（c）中一类子流形的刚性问题.对于任意指标伪黎曼空间形式中的类空子流形,它的第二基本形式或是类时的,或是类空的,或是类光的.对此,本文着重考虑第二基本形式局部类时的情况,运用活动标架与张量分析相结合的方法,系统研究线性Weingarten子流形的刚性问题,具体工作如下:首先,在子流形上构造修正的Cheng-Yau算子L,并将L作用在无迹张量模长平方|Φ|2上,得到关于Φ的Simon型不等式.对不等式应用广义极值原理,找到这类子流形的全脐条件,即当无迹张量模的上确界小于某个常数μ时,该类子流形是全脐子流形.特别地,当无迹张量模的上确界等于常数μ时,这类子流形等距于乘积流形H1（c-ccoth2r）× Sn-1（c-ctanh2r）（c＞0）,Rn-1 × H1（-coth2r）（c=0）,Hn-1（c+ctan2 r）× H1（c+ccot2 r）（c＜0）.其次,考虑等距浸入到伪黎曼空间形式中具有平行标准化平均曲率向量的完备线性Weingarten类空子流形的脐性,证明了若这类子流形具有非负截面曲率,则它是全脐子流形或等距于M1 ×…×Mr,其中Mk,k=1,…,r两两垂直且均为Nqn+p（c）的全脐子流形.最后,对于Sqn+p（c）中具有平行标准化平均曲率向量的线性Weingarten类空子流形,通过代数不等式进行估计,证明了当这类子流形的第二基本形式模长平方σ小于（?）时,子流形是全脐的.当σ=（?）时,这类子流形等距于双曲柱面Sn-1（c-ctanh2 r）× H1（c-ccoth2 r）.本文主要根据子流形的几何量对伪黎曼空间形式中一类线性Weingarten类空子流形进行分类,推广了常数量曲率子流形的经典已知结果,也为子流形刚性研究提供更深入的理论支撑.
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