华林-哥德巴赫问题研究将满足某些同余条件的正整数表示为素数幂之和的可能性，即对于充分大的正整数N，方程N=pk1+pk2+…+pks的可解性，其中p1,…，ps是素数.一个著名的猜测是说当s≥k十1时该问题是可解的.这个猜想的证明非常困难，目前还没有办法解决.事实上，当k=1，s=2时，这就是著名的哥德巴赫猜想.令H（k）表示使上述方程可解的s的最小值.1937年，Vinogradov证明了对于每一个充分大的奇数，H(1)≤3.2013年，这一问题被Helfgott彻底解决，即对所有大于等于9的奇数都有H(1)≤3.对于非线性的华林-哥德巴赫问题，华罗庚进行了系统地研究，得到H(k)≤2k+1对于所有k≥1都成立.对于k≤3，这是迄今为止最好的结果.华罗庚还考虑了这一问题的例外集问题.记Ek,s，s(N)表示不超过N的满足某些局部同余条件但是不能表示为s个素数的k次幂之和的正整数个数.华罗庚证明了E3,s(N)《NL-A对于任意的A＞0及5≤s≤8都成立.2000年，任秀敏将s=5的结果改进为E3,5(N)《N152/153+ε.之后，Kawada，Kumchev和Wooley都研究了这一问题.目前最好的结果是赵立璐证明的:ρ3,5=1/12-ε，ρ3,6=1/4-ε，ρ3,7=1/2-ε，ρ3，8=5/6-ε.对于k=4，Davenport证明了H(4)≤15.Kawada和Wooley将结果改进为14.最近，赵立璐将这一结果进一步改进为13.当10≤s≤12时，Kumchev考虑了该问题的例外集并得到:E4,s(N)≤N1-ρ4.s，其中ρ4，10=3887/56832-ε，ρ4，11=14543/56832-ε，ρ4,12=15727/56832-ε.当k≥5时，关于H（k），目前最好的结果是:H(5)≤21，H(6)≤32，H(7)≤46，H(8)≤63.　　此外，许多数学家也研究了适当限制条件下的华林-哥德巴赫问题，其中几乎相等的华林-哥德巴赫问题是受关注较多的一类问题.具体来说，该问题研究方程{(N=pk1+…+pks(0.1)|pi-（N/s）1/k|≤N1/k-θk,s，1≤i≤s)的可解性，其中θk,s∈(0，1/k).　　关于该类问题，以前的工作主要集中在k≤3的情形.当k=1时，首先考虑这类问题的是Haselgrove，他证明了θ1,3=1.许多数学家都对这一问题做过进一步研究.目前最好的结果是Baker和Harman得到的:θ1，3=3/7.　　当k=2时，刘建亚和展涛最先考虑了这一问题.后来，Bauer和王永辉，刘建亚，吕广世和展涛等都对这一问题进行了研究.2012年，Kumchev和李太玉得到了目前最好的结果θ2,5=1/18-ε.　　当k=3时，孟宪萌首先证明了在广义黎曼假设的条件下，θ3,9=1/198-ε.之后，吕广世和徐云飞证明了上述结果无条件成立.2012年，李太玉将这一结果改进为θ3，9=1/90-ε.对于4≤k≤10，孙庆峰和唐恒才证明了θk,2k+1=1/2k(k-1)22k-2+2k-ε.　　在本文中，我们研究了(0.1)当3≤k≤10时的情形，改进了以上结果.我们的主要结果如下:　　定理1设3≤k≤10，记{θk,2k+1={1/k(k-1)2k+k-ε，当3≤k≤7时，1/4k2(k-1)(k-2)+k-ε，当8≤k≤10时.则对于每一个足够大的满足局部同余条件的正整数N，方程{(N=pk1+…+pk2k+1，|pi-（N/2k+1）1/k|≤N1/k-θk,2k+1，1≤i≤2k+1)可解.　　注意当k=3时，定理1的结论蕴含着θ3,9=1/51-ε.当4≤k≤10时，我们改进了孙庆峰和唐恒才的结果.　　关于(0.1)的可解性，当2k-1+1≤s≤2k时，我们不能证明类似定理1的全表性结果，只能考虑例外集问题.在本文中，我们研究了当k=3和k=4时的情形.引入记号Ik，s(N,Y)=[N-Y,N+Y].设Ek，s(N,Y)表示集合Ik，s(N，Y)中满足局部同余条件但是不能表示为(0.1)的正整数个数，其中2k-1+1≤s≤2k.我们证明存在θk，s∈(0，1/k)，使得对于任一给定的ε＞0，有Ek,s(N,ks(N/s)1-θk,s）＜＜N1-θk,s-ε.(0.2)　　当k=3时，刘志新和孙庆峰首先考虑了这一问题并得到∪θ3，5=s-4/6(x+12)，其中5≤s≤8.王勿匆将这一结果改进为θ3，s=s-4/15s.2012年，李太玉证明了θ3,5=1/48，θ3,6=1/36，θ3,7=1.本文证明了如下结果:　　定理2对于k=3，5≤s≤8，(0.2)对于如下的θ3,s成立:θ3,5=7/261-2ε，θ3,6=5/159-ε，θ3,7=11/333-ε，θ3,8=19/561-ε.　　当k=4时，唐恒才和赵峰对于9≤s≤13的情形进行了研究并且得到了θ4,s=s-8/8(s+88).注意对于k=4，我们并不能证明当14≤ s≤16时，对充分大的N，(0.1)是可表的，孙庆峰和唐恒才证明了当s=17时，(0.1)可解.因此，我们考虑当9≤s≤16时的例外集问题.本文中我们证明了如下结果:　　定理3当k=4，9≤s≤16时，(0.2)对于如下的θ4，s成立:θ4，s={2s-15/12(s+16)-2ε，当s=9，10时，8s-69/4(88s-717)-2ε，当11≤s≤16时.　　本文考虑的第二个问题是与球内整点有关的素数分布问题.球内整点问题是数论中的重要问题.Vinogradov和陈景润分别独立地证明了∑m21+m22+m23≤x m1∈Z1=4/3π3/2+经O(x2/3)上式余项中x的指数被Chamizo和Iwaniec改进为29/44，Heath-Brown将这一结果进一步改进为21/32.在中，Friedlander和Iwaniec证明了π3（x）:=∑m21+m22+m23=p≤x mi∈Z1～4π/3 x3/2/log x郭汝庭和翟文广进一步证明了对于任意给定的A＞0，πΛ(x):=∑m21+m22+m23≤xΛ(m21+m22+m23)=8C3I3x3/2+O(x3/2 log-Ax),其中C3和I3分别是该问题中的奇异级数和奇异积分.由上式可以得到π3(x)=12C3I3∫x2t1/2/log tdt+O(x3/2 log-A x).Calderón和Velasco研究了与除数函数有关的球内整点问题并证明了S(x):=∑1≤m1,m2,m3≤x d(m21+ m22+m23)=8ζ(3)/5ζ(4)x3logx+O(x3).郭汝庭和翟文广将上述结果改进为S(x)=2C1I1x3 log x+(C1I2+C2I1)x3+ O(x8/3+ε),其中Ci，Ii(i=1，2)是常数.赵立璐将上式中的余项进一步改进为x2 log7x.　　在本文中，我们研究了该问题的几乎相等问题:S(x,y）=Σ|mi-x|≤y d(m21+m22+m23),其中y，=xθ，θ∈（0，1].本文的主要结果如下:　　定理4对于θ≥1/2+2ε，我们有渐近公式S(x，y)=4ζ(3)/5ζ(4)L1(x，y)+64ζ(3)/5ζ(4)(γ+8log2/15+2ζ(3)/ζ(3)-2ζ(4)/ζ(4))y3+ O(y3-ε)，其中L1(x，y)=1/8∑3(x-y)2＜n≤3(x+y)2(logn)∑(x-y)2＜mi≤(x+y)2m1+m2+m3=n(m1m2m3)-1/2=y3 logy.　　定理5对θ≥6+ε，我们有S(x,y)=4ζ(3)/5ζ(4) L1(x,y)+64ζ(3)/5ζ(4)（γ+8log2/15)+2ζ(3)/ζ(3)-2ζ(4)/ζ(4)）y3+ O(y8/3 xε).　　在这一部分，我们还考虑了几乎相等的三个整数的平方和表素数的问题.这一问题可以确切地表述为πΛ（x，y）=∑|mi-x|≤yΛ（m21+m22+m23),其中y=xδ(0＜δ≤1).我们证明了如下结果:　　定理6设δ≥26/35+2ε.则对于任意的A＞0，πΛ(x，y)=8(∈)y3+ O(y3L-A),其中(∈)是由(1.6)定义的奇异级数.　　定理7设y=xδ满足26/35+2ε≤δ≤1.定义π3（x，y）=∑|mi-x|≤ym21+m22+m23=p1.那么，对于任意的A＞0，我们有π3（x,y）=1/8(∈)(S)+ O(y3L-A)，其中(s)=∑（x-y）2＜mi≤(x+y）2（m1m2m3）-1/2∑3（x-y）2＜n≤3（x+y)2m1+m2+m3=n1/logn=y3/log x.