微分方程的可积性问题一直是微分方程研究领域的一个重要课题。一般说来,一个常微分方程动力系统称为是可积的,如果它有足够多的首次积分使得它的所有解都可以由这些首次积分函数表示。因此如何构造系统的首次积分就成为研究可积性问题的关键。但遗憾的是,迄今为止对一般常微分方程动力系统,还没有一个能构造出其首次积分的确定有效的方法,即使是对多项式系统寻找最简单的多项式形式的积分。本文我们考虑多项式系统的可积性,将介绍三种寻找多项式系统的多项式首次积分或有理首次积分的方法:不变测度法,Lagutinskii-Levelt过程和相容向量的方法,并应用这些方法于一些具体的系统,如Lorenz系统、齐次Lotka-Volterra系统、齐次May-Leonard系统、Halphen系统和Ohyama系统等。