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微分算子是线性算子中最基本的一类可闭的无界线性算子.在数学和物理及其他学科中,很多问题都可以归结为一个确定的微分算子的问题,其中有些问题可转化成在算子域内具有不连续点的微分算子问题.本文主要围绕具有不连续点的Sturm-Liouville (S-L)算子,即具有转移条件的S-L算子展开研究；进一步应用具有转移条件的奇异自共轭微分算子理论,讨论具有点作用的Schrodinger算子(the Schrodinger operators with point interactions),即势函数为广义函数的Schrodinger算子,并给出具有点作用的Schrodinger算子的谱分析.本文运用具有转移条件的奇异自共轭微分算子理论,研究了具有点作用的Schrodinger算子的谱理论,即势函数为广义函数的Schrodinger算子的谱理论.分别讨论了势函数为Dirac函数δ、δ’函数的Schrodinger算子,其中δ’函数为Dirac函数δ在广义函数意义下的导数；把δ函数和δ’函数作用的点0看作不连续点,描述具有转移条件的奇异微分算子的自共轭域,并给出了具有点作用的Schrodinger算子与具有转移条件的奇异自共轭微分算子之间的对应关系,应用奇异自共轭微分算子的谱函数与Weyl函数之间的关系,得到具有转移条件的奇异自共轭微分算子的谱,从而给出与之对应的具有点作用的Schrodinger算子的谱分析.本文还研究了几类具有转移条件的S-L算子.首先,研究了在相邻的两个区间[-1,0)和(0,1]上具有分离型边界条件和转移条件的S-L算子.定义一个与转移条件相关联的内积,得到一个新的Hilbert空间,在新的Hilbert空间中研究具有分离型边界条件和转移条件的S-L算子；得到参数λ为所考虑问题的特征值的充要条件,并给出特征值的单重性；构造具有分离型边界条件和转移条件的S-L算子的Green函数,通过Green函数按特征函数的展开式证明了所考虑的具有转移条件的S-L算子的Parseval等式,即修正Parseval等式.其次,考虑了不相邻的两个区间(a1,b1)和(a2,b2)上的S-L算子.由左区间的右端点与右区间的左端点之间的边界条件构成转移条件,相应的S-L问题变为具有转移条件的S-L算子问题.构造S-L方程满足转移条件及部分边界条件的解；并应用Titchmarsh所提出的关于初值问题解的展开方法,给出S-L方程的解的渐近式；利用解的渐近式得到具有转移条件的S-L算子的特征值及特征函数的渐近估计；应用具有转移条件的S-L算子的Green函数按特征函数的展开式证明了所考虑问题的Parseval等式.最后,研究了在相邻两个区间[-1,0)和(0,1]上具有耦合型边界条件和转移条件的S-L算子.定义与所考虑的具有耦合型边界条件和转移条件的S-L问题相关的最大、最小算子及算子域；证明耦合型边界条件中的系数矩阵满足一定条件时,具有耦合型边界条件和转移条件的S-L算子是自共轭的；构造S-L方程的基本解,得到了确定具有耦合型边界条件和转移条件的S-L算子的特征值的整函数,其零点是所考虑问题的特征值,并给出特征值单重的条件；证明了具有耦合型边界条件和转移条件的S-L算子的Green函数按特征函数的展开级数是绝对一致收敛的,进而证明所考虑问题的Parseval等式.本文共分六章：第一章为绪论部分,叙述本文中所考虑问题的背景和本文的主要结果；第二章介绍了本文中所用到的基本概念和引理；第三章运用具有转移条件的奇异自共轭微分算子的理论研究了具有点作用的Schrodinger算子,进一步讨论了具有点作用的Schrodinger算子的谱分析；第四章研究了在相邻的两区间[-1,0)和(0,1]上的、边界条件为分离型的具有转移条件的Sturm-Liouville算子；第五章,考虑了在不相邻的两个区间(a1,b1)和(a2,b2)上的具有转移条件的Sturm-Liouville算子；第六章研究了在相邻的两区间[-1,0)和(0,1]上的,边界条件为耦合型的具有转移条件的Sturm-Liouville算子.