目前，互联网络已经与人们的工作、日常生活等方面息息相关．网络的可靠性和容错性是近年来国内外研究的热点之一．我们知道，边连通度是反映图的连通性质的一个重要参数，而要精确地刻画图的连通性质，它存在着不足之处：首先，边连通度相同的图可靠度可能不同；其次，不能区分删掉K个割断点或λ条割断边得到的图的不同类型，即未考虑对网络的伤害程度；第三，默认图的任何子集中所有元素可能潜在地同时失效．为克服以上缺陷，自然要将其加以推广．自1983年Harary[1]提出条件连通度的概念以来，经过二十多年的发展，条件连通度所涉及的内容日益丰富和具体，包括超级连通度、过边连通度、限制边连通度等． 设计和分析大规模网络的可靠性和容错性时，通常包括某些类型的图模型，其中—个重要模型是这样的网络[2]： 设图G=(V，E)，其节点不会失效，每一条边是独立失效的，失效概率为p．用Ni(G)表示边数为i的边割的数目，则G连通的概率R(G，p)为：其中ε是G的边数，λ(G)为边连通度．对于一般图，确定Ni(G)是NP—困难的[3]．Bauer et al[4]提出了最优性的概念，称G是λ—最优的，如果λ(G)=δ(G)．进一步，若G的每个最小边割孤立一个点，称G是超级—λ的． 为了更好地刻画图的连通性，Esfahanian和Hakimi[8]提出了限制边连通度的概念．G的一个边割U()E称为限制边割，如果G—U的每个分支不包含孤立点．如果这样的边割存在，限制边连通度λ(G)为限制边割中最小的阶，并且称G为λ—连通的．他们证明了阶至少是4的除星K1，n-1外的连通图是λ—连通的，并且满足λ(G)≤ζ(G)，这里ζ(G)=min{dG(u)+dG(v)—2：uv∈E(G)}是G的最小边度．如果λ(G)=ζ(G)，称G是λ—最优的．进一步，若G的每个最小限制边割孤立一条边，称G是超级—λ的． 令k是正整数．对于连通图G=(V，E)，—个边割U()E称为k—限制边割，如果G—U的每个分支至少有k个点，如果这样的边割存在，k—限制边连通度λk(G)为k—限制边割中最小的阶，并且称G为λk—连通的，k—限制边连通度在容错性研究中是一个非常重要的参数，令ζk(G)=min{()(F)：F是G的k阶连通子图}，这里()(F)表示恰好有一个端点在F中的边的集合，在多数图中λk(G)≤ζk(G)[28]．如果λk(G)=ζk(G)，称G是λk—最优的．进一步，若G的每个最小k—限制边割孤立一个k阶连通子图，称G是超级—λk的． 在本文中，我们在前人的基础上继续讨论k—限制边连通度的相关性质． 在第一章中，我们主要介绍本文中的相关概念，定理和符号．同时，我们给出了相关的研究背景和前人的结果， 在第二章中，我们用直径和围长来刻画图的λk最优性和超级性的充分条件，得到如下的结果： 定理2.2.令k≥3是正整数．对图G，如果|G|≥2k，D≤g—(k+1)且k≤δ+1，这里D，g，δ分别表示G的直径、围长和最小度，则G是λk—最优的， 定义设G1，G2是两个阶至少是k的图．含G1∪G2，且对于每个点x∈V(G1)．|x，G2]|=1的图所组成类记作Gx． 定理2.4.令k≥4是正整数．对图G，如果|G|≥2k，D≤g—(k+2)且k≤δ+1，这里D，g，δ分别表示G的直径、围长和最小度，则G是超级—λk的，除非G∈Gx． 在第三章中，我们用局部结构来刻画图的λk最优性和超级性的充分条件，得到下面的结果： 定理3.8.设G是n阶λ3—连通图，最小度δ≥[n/2]—2，且(a)每个导出四圈中至少有一个点x，满足d(x)≥[n/2]；(b)每个K4—e中至少有一个点y，满足d(y)≥[n/2]+2，则G是λ3—最优的． 定理3.9.设G是一个n阶λk—连通图，λk(G)≤ζk(G)，对G的任意一个k阶连通子图Fk及恰好在Fk中有s(1≤s≤k)个邻点的u∈V(G)V(Fk)，d(u)≥[n/2]—k+2s-1，则G是λk—最优的． 定理3.11.设G是一个n阶Ak—连通图，λk(G)≤ζk(G)，对G的任意一个k阶连通子图Fk及恰好在Fk中有s(1≤s≤k)个邻点的u∈V(G)V(Fk)，d(u)＞[n/2]—k+2s-1，则G是超级—λk的， 在第四章中，我们用邻域结构来刻画图的λk—连通性，上界以及图的λk最优性和超级性，得到下面的结果： 定理4.2.设G是阶至少是2k的图，每—对不相邻的点u，v满足|N(u)∩N(v)|≥k+1，则G是λk—连通的且λk(G)≤ζk(G)． 定义．设H1是[n/2]+i阶连通图，H2是[n/2]—i阶连通图，其中0≤i≤k-1.把含H1∪H2，满足|[H1，H2]|≤[n/2]+k-1，且每个u∈V(H1)满足|N(u)∩V(H2)|≥1，每个口∈V(H2)满足IN(v) flV(Hi)I≥1的图类记作G1. 定理4.3.设G是n阶(n≥2k)图且G()G1.每一对不相邻的点u，v满足N(u)∩N(v)|≥k+1，且ζk(G)≤[n/2]+k，则G是λk—最优的． 定理4.4.设G是n阶(n＞2k)图且Fk是G的任意一个k阶连通子图，每一对不相邻的点u，v满足|N(u)∩N(v)|≥k+1，恰好在Fk中有s(2≤s≤k)个邻点的点x∈V(G)V(Fk)满足d(x)≥[n/2]—k十2s-1，则G是λk—最优的． 在第五章中，我们用一定距离的两点的度和来刻画图的λk最优性和超级性，得到以下如下的结果： 定理5.1.设G是n阶k≤δ+1的λk—连通图，满足如下两个条件，则G是λk—最优的：(a)对于每对距离为k—s+1，(k-1≥s≥1)的点x，y，有(b)对于每个k阶连通子图Fk，若z是Fk的k个点的公共邻点，则 定理5.3.设G是n阶k≤δ+1的λk—连通图，满足如下两个条件，则G是超级—λk的：(a)对于每对距离为k—s+1，(k-1≥s≥1)的点x，g，有(b)对于每个k阶连通子图Fk，若z是Fk的k个点的公共邻点，则在第六章中，我们主要研究图的λk最优性和超级性的关系，证明了下面的结 定理6.1.设是正整数，若G是一个δ≥2k-1的λk—最优图，则对于i=1，2，…，k-1，G是超级—λk—i的．