分数阶微积分是数学的一个分支,将整数阶微积分推广到了非整数阶。分数阶变分问题在工程学,力学,化学,生物,经济学和控制论等学科领域都有着广泛的应用,因此近几年成为研究热点。Riewe在1996年首次提出了分数阶变分问题,他在文章中引入了哈密顿式子并且用分数微积分描述了经典力学中的一些原理。Klimek利用均衡分数阶微分描述了分数阶有序的力学模型,用带有系数的分数阶微分方程描述了稳定性保守法则。印度数学家Agrawal利用变分法和分数微分原理去研究分数阶变分问题。并且在研究了不固定边界的分数阶变分问题,文章要求极值曲线满足边界条件: y ( a)=y_a并且在第一次达到终止时刻时恰好落在固定曲线z = c(x)上。Mohamed讨论了形如J ( y)= I_a~γ+L(x,y(x),~RD_a~α+y,y(a))泛函的最优必要和最优充分条件。本文在第三章将讨论如下形式的分数阶变分问题的最优必要和最优充分条件: J ( y)=∫_a ~b L(x,y(x),~C D_a~α+ y(x),y(a),y(b))dx→min我们分别讨论了六种不同的边界条件,其中初始时刻x = a为固定的,但是初始点y (a),终止时刻b和终止点y (b)均为不确定的。在一些情况中y (x)在终止时刻时恰好落在一条固定曲线上。在第四章我们将讨论更为广泛的分数阶变分问题(分数阶积分号下的分数阶变分问题)的最优必要条件和最优充分条件。我们将考虑如下两种形式的泛函: J ( y)= I_a~γ+ L[x,y(x),~RDaα+y,CD_a~β+y,y(a)]→min J ( y)= I_b~γ- L[x,y(x),~R D~b~α-y,CD_b~β-y,y(b)]→min拉格朗日函数与Riemann-Liouville分数阶微分,Caputo分数阶微分和自由边界条件有关。