周期结构是由基本周期单元（单胞）在空间周期性排列组合所形成的结构。通过充分利用其特有的结构分布特点,可以快速实现结构设计、建模分析以及加工制造。除此之外,周期结构还具有高比强度、高比刚度、轻质化、耐蠕变、耐高温、高能量吸收率、低热阻率以及材料性能可调控等众多优良的力学性能和物理特性,所以该类结构已在各个工程领域中发挥着极其重要的作用,成为现代结构设计和生产过程中不可或缺的重要结构类型。由于周期结构经常服役于复杂的热环境中,所以会存在热应力问题,特别是由剧烈温度变化或热力载荷突变所引起的瞬态热应力集中、热应变增大以及热疲劳失效等问题,对结构的强度和安全性至关重要。为了获得结构的热应力和热应变,首先需要对周期结构的瞬态温度场进行求解分析,因此对周期结构瞬态热传导问题的高效算法研究不仅具有重要的理论意义,而且具有极大的实用价值。周期结构往往具有复杂的内部结构和边界条件以及快速振荡的物性参数,因此很难直接采用现存的解析方法进行精确求解。所以,绝大多数工程实际问题只能采用数值算法进行分析求解:即,首先对其空间域进行数值离散,得到一组微分方程,随后再使用数值积分方法在时间域对其进行积分求解,从而获得所需的温度响应。然而,对于周期结构规模较大且热物性参数变化非常频繁的情况,当直接采用有限差分法或有限元法对其进行空间域离散时,往往要求网格剖分得非常细,进而导致所需求解的线性代数方程组规模较大,致使计算效率较低。因此,本博士学位论文将基于结构的周期特性、矩阵指数的特殊代数结构、线性问题的叠加原理以及瞬态热传导问题的物理特性建立求解周期结构及准周期结构瞬态热传导问题的高效率、高精度数值算法。其主要研究工作如下:（1）基于瞬态热传导问题的物理特性、矩阵指数元素的物理含义以及结构的周期特性,建立了一维周期结构瞬态热传导问题的高精度、高效率、高稳定性数值积分方法。根据瞬态热传导问题的基本解论述了其物理特性:即,在一个较小的时间步长内,只在一个位置点处所施加的单位外激励仅仅会对该点附近的区域有影响,而对远离该点的区域没有影响。基于该物理特性、矩阵指数元素物理含义以及特定的节点编号规则,论证了在一个较小的时间步长内,一维周期结构瞬态热传导问题所对应的矩阵指数是具有大量零元素的稀疏矩阵,且其非零元素只分布在对角线附近,呈带状分布;然后,结合结构的周期特性进一步讨论了该矩阵指数中非零元素的斜平移重复特性。以矩阵指数的这种特殊代数结构和精细积分算法为基础,将原一维周期结构矩阵指数的计算转化为小规模代表周期结构矩阵指数的计算,以此建立了一种可以避免重复计算和存储大量零元素和重复元素的数值方法。所提方法不仅可以有效地提高计算效率,降低计算所需内存,而且还继承了精细积分方法的高精度和高稳定性。通过数值算例可知,中心差分方法即使采用比本文方法小8倍的时间步长,其计算精度也无法达到本文算法的计算精度,这说明本文算法采用较大的时间步长仍可以给出高精度的解。就计算效率而言,在保证中心差分方法计算结果合理的条件下,本文方法的计算效率是中心差分方法的20倍左右,这表明本文方法具有很高的计算效率。（2）基于线性系统的叠加原理、瞬态热传导问题的物理特性以及结构的周期特性,提出了一种求解二维周期结构瞬态热传导问题的高精度、高效率、高稳定性数值方法。首先根据叠加原理,将二维周期结构温度响应的计算转化为一系列基本有限元模型温度响应的计算;进而结合瞬态热传导问题的物理特性,将所有基本有限元模型温度响应的计算转化为一系列小规模有限元模型温度响应的计算,通过降低计算规模来提高计算效率;最后,结合结构的周期特性分析发现大量的小规模有限元模型实际上具有相同的矩阵指数,因此只需要利用精细积分算法计算少量小规模结构的矩阵指数即可,通过减少计算次数进一步提高计算效率。本文算法不仅继承了精细积分方法的高精度和高稳定性,而且能够有效地提高计算效率,降低所需内存。数值算例表明,若中心差分方法采用与本文方法相同的时间步长时,其所得结果的相对误差较大。为了获得较合理的结果,中心差分方法必须采用较小的时间步长,但当其时间步长比本文方法小4倍时,其计算精度仍未达到本文方法的千分之一,说明本文方法采用较大时间步长仍可给出高精度的解。对于具有约580万自由度的二维周期结构而言,在保证计算结果较合理的条件下,本文方法的计算效率是以预处理共轭梯度方法为求解器的中心差分方法的27倍左右;而由于计算内存的限制,此时直接解法已无法用来求解中心差分方法所得到的线性代数方程组。因此,本文方法具有很高的计算效率,且所需内存较小。（3）基于高斯热源的时-空分布特点、结构的周期特性以及瞬态热传导问题的物理特性,针对移动热源作用下周期结构的瞬态热传导问题建立了高效的数值积分方法。文中采用高斯热源模型来模拟移动热源,尽管移动热源的中心位置具有时变性,但是在每一时刻,其热流密度的空间分布具有相对时不变特性和局部特性。依据高斯热源的这种时-空分布特性、结构的周期特性以及瞬态热传导问题的物理特性,论证了移动热源在远离两端边界的单胞上移动时,其在一个时间步长内所做的贡献具有重复特性。文中利用该特点,提出了一种减少重复计算的数值方法,以此提高计算效率。结合线性问题的叠加原理,将移动热源在一个时间步长内引起的整个周期结构上的温度响应的计算转化为多个基本等效热载荷分别单独作用在小规模结构上所引起的温度响应的计算,通过降低计算规模来进一步提高计算效率。数值算例表明,所提方法的相对误差为10-4左右,具有较高的计算精度;对于具有约21万自由度的单移动热源问题和约110万自由度的多移动热源问题而言,所提方法的计算效率分别是以预处理共轭梯度方法作为求解器的中心差分方法的4倍和5倍左右。（4）根据外激励在一个时间步长内所引起的温度响应的局部特性,提出了含非线性杂质准周期结构瞬态热传导问题的准叠加原理,进而建立了一种求解该问题的高精度、高效率数值积分方法。依据瞬态热传导问题的物理特性以及杂质单胞的位置,可以将整个结构的外激励适当地分为两组,而在一个时间步长内含杂质准周期结构的温度响应可由这两组外激励分别单独作用在准周期结构上所引起的温度响应的叠加得到。基于该结论,准周期结构瞬态热传导问题的求解可以转化为一个完美周期结构的线性瞬态热传导问题的求解和多个含杂质小规模子结构的非线性瞬态热传导问题的求解。由于含杂质子结构的规模较小,所以其对应的非线性瞬态热传导问题可以利用传统方法进行高效求解;而完美周期结构的瞬态热传导问题则可以基于本博士论文中所提出的高效数值方法进行求解。所提算法不仅可以避免大规模非线性方程组的求解,还可以有效地消除整体结构所对应的热传导矩阵和热容矩阵的更新。因此,该方法较传统算法而言,所需内存较少,计算效率较高。数值算例表明,本文方法采用较大时间步长计算所得的相对误差大约是10-3,具有较高的计算精度;就计算效率而言,在保证计算结果合理的条件下,对具有约500万自由度的含非线性杂质准周期结构而言,本文算法的计算效率是传统方法的10多倍甚至60多倍。