本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及Hamiltonian结构，Liouville可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方程的分数阶Hamiltonian结构。其具体内容为：第一章介绍了孤立子理论，可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状，同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。第二章简要的介绍了Kac-Moody代数，Hamiltonian函数的概念及相关的性质。详细的阐述和介绍了AC=BD理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵Lax可积方程族，并获得它的Hamiltonian结构。另外从Lax对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系列的多分量可积耦合方程族。但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的Hamiltonian结构（尤其是多分量可积耦合方程族的Hamiltonian结构），针对此问题，文中给出广义的killing内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了多分量耦合系统的Hamiltonian结构。其中给出了多分量Jaulent-Miodek方程族，多分量2+1维GJ方程族和耦合Dirac方程族的Hamiltonian结构。另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的R-矩阵。其中以AKNS族为例，得到了耦合AKNS方程族的R-矩阵。第四章从loop代数（?）₁的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形Lax可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还提出了2+1维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数λ满足的非等谱条件，得到了Blaszak-Marciniak晶格方程的耦合系统。国际著名杂志《Physics Letters A》的编委A.R.Bishop对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，itis an interesting and important work”。另外，进一步考虑了离散系统Darboux变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成AKNS方程。这样做不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的精确解（解析解）获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的数值解。第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的Hamiltonian结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间和分数形式的Hamiltonian形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到分数情形，建立一套分数阶Hamiltonian结构和可积系统。我们已经完成了分数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的AKNS方程和C-KdV方程，并且给出了它们简单形式的Hamiltonian函数。另外利用Riemann-Liouville分数阶算子和分数形式的Possion括号，把Hamiltonian结构的辛形式推广到分数阶情形。