单幅图像超分辨率重建是指将一幅低分辨率图像通过某种算法处理获得高分辨率图像的一种技术。图像超分辨率重建一直以来都是图像处理领域中的重要研究内容之一,在医学、遥感、图像识别、网络传输、动画制作与合成等领域有着重要应用。虽然很多方法被广泛应用于现实,但是有效保持图像纹理细节且使图像边缘区域不失真,同时兼顾处理速度一直是图像超分辨率重建技术的一个难题。本文通过构造插值函数研究了基于插值的单幅图像超分辨率重建方法,将曲面插值应用到图像插值,用简单的数学方法恢复出高质量的高分辨率图像。构造了C~2连续有理插值函数和有理分形插值函数,并分析了其性质。通过对插值模型的性质分析,提出了基于有理插值函数和有理分形插值函数的单幅图像超分辨重建算法。本文的主要贡献如下:第一,构造了一类含有可调参数的C~2连续有理插值函数,分析了其C~2连续性条件,给出了误差估计;构造了双变量有理分形插值函数,并给出了相关理论分析,包括误差分析、稳定性分析、拟局部性分析,同时给出了分形维数的计算方法。第二,针对经典插值算法图像纹理细节保持不足,提出了一种基于参数优化的有理函数图像插值算法。利用C~2连续有理函数含有可调参数,基于其收敛性分析,利用区域采样和点采样的映射关系,构建参数优化目标函数;利用误差极小化迭代方法获取最优参数,进行图像插值。第三,针对有理函数在边缘区域保持上的不足,提出了基于NSCT的区域自适应图像插值算法。将图像划分为不同的区域,相应地采用不同的方法实现图像插值。区域划分的方法是通过NSCT捕获到图像的边缘轮廓信息,利用其高频信息的统计特性设定阈值,根据阈值将图像自适应地划分为边缘区域和非边缘区域。边缘区域采用新的基于边缘指导的插值模型,非边缘区域采用C~2连续有理函数模型插值,进而得到目标图像。第四,针对单一尺度分析纹理特征的不足,提出了基于有理分形插值的单幅图像超分辨率重建算法。构造的双变量有理分形插值函数含有尺度因子和形状参数,随着参数取值的不同,该模型具有不同的表示形式。而且,该模型融合了有理插值和分形插值的优势,其有效性可通过理论分析证明。将分形分析方法应用到插值模型,提出了超分辨率重建方法。将图像划分为纹理区域和非纹理区域,根据图像局部结构特征实现自适应插值。具体来说,在纹理区域,尺度因子计算是关键步骤。基于局部分形分析,本文给出了精确计算尺度因子的方法。