分数阶偏微分方程和随机分数阶偏微分方程理论已经被广泛应用到诸多工程和科学技术领域,能够更准确的描述复杂系统的演化规律。其理论分析和数值算法研究是一个核心热点问题。本文主要研究了带线性耗散项的分数阶非线性Schr?dinger方程和随机分数阶非线性Schr?dinger方程的解的适定性和数值算法构造及分析。论文共分七章,主要包括以下四部分内容:带线性耗散项的空间分数阶非线性Schr?dinger方程理论分析和数值算法研究、Stratonovich型乘性噪声驱动的随机空间分数阶非线性Schr?dinger方程理论分析和数值算法研究、时空白噪声驱动的随机时空分数阶非线性Schr?dinger方程理论分析、It?型乘性噪声驱动的随机时空分数阶非线性Schr?dinger方程理论分析和数值算法研究。第一章主要介绍了分数阶微积分的研究背景与意义、随机分数阶偏微分方程的研究背景与意义以及随机分数阶偏微分方程的研究现状,并概括了本文的主要研究内容。第二章主要介绍了分数阶微积分以及高斯噪声和随机偏微分方程相关的基础知识。论文主体的第二部分研究了几个分数阶Schr?dinger方程理论分析和数值算法,由第三、四、五、六章组成。第三章,我们首先证明了带线性耗散项的空间分数阶非线性Schr?dinger方程全局光滑解的存在唯一性,并给出了该方程的质量全局共形守恒特性。基于这一特性,构造了一个线性化的保全局共形质量的数值算法,并严格证明了数值格式解的存在唯一性、稳定性和收敛阶。在本章的最后,我们数值模拟了一些数值算例,验证了数值算法的保全局共形质量特性和收敛阶。第四章,我们考虑Stratonovich型乘性噪声驱动的随机空间分数阶非线性Schr?dinger方程,证明了该方程解的适定性和质量守恒特性。基于这一特性,时间方向上利用分裂方法,空间方向上利用Grünwald–Letikov方法,构造了一个质量守恒的数值算法,并证明了该算法的收敛性。第五章,我们讨论了时空白噪声驱动的随机时空分数阶非线性Schr?dinger方程的解的适定性。由于随机项的存在,经典的不动点方法不能直接用来证明解的存在唯一性,我们首先证明了随机卷积的正则性,再将随机卷积转化为随机系数得到一个等价方程,利用随机卷积的正则性条件,证明方程解的适定性。最后,我们将局部解的存在唯一性延拓到T→∞,并证明了全局解的存在唯一性。第六章,我们讨论了It?型乘性噪声驱动的随机时空分数阶非线性Schr?dinger方程的解的适定性,本章讨论的噪声为空间上的“彩色”噪声,与时空白噪声性质有很大的区别,我们在本章中,利用Mittag-Leffler函数的性质,证明了该方程解的存在唯一性,并分析了解的正则性。基于该方程的低正则性和H?lder连续性,在空间方向上我们利用谱Galerkin方法,时间方向上利用指数方法,构造了一个显式的数值算法,并给出了算法的稳定性和收敛性分析。