断裂现象始终是同材料与结构中的孔洞、缺口或裂纹相关联的，在材料的这种宏观不连续部分最明显的特点是应力分布极不均匀，这种现象叫做应力集中。缺陷(孔洞、裂纹、位错等)和应力集中往往是造成结构破损的重要原因。线弹性断裂力学作为断裂力学的一个分支，曾有过很好的发展，其主要的工作是确定各种构形裂纹尖端的应力强度因子。Westergaard应力函数法、Muskhelishvili方法作为线弹性断裂力学平面问题的两种方法，在其发展过程中起过很重要的作用。Muskhelisvili方法将平面弹性问题转化为求解满足一定边界条件的两个复势函数ψ(z)、ψ(z)。 本文利用复变方法，通过保角映射研究了带裂纹的椭圆孔洞的平面弹性问题，得到了应力函数ψ(ξ)、ψ(ξ)，求得了裂纹尖端的应力强度因子的解析解，并由此模拟出了两互相垂直的裂纹问题。 研究了含幂函数类对称曲线裂纹平面弹性问题，可以象解决孔口问题那样，采用传统的复变函数保角映射法，给出了一些适当的保角变换公式，从而将裂纹外区域映射到一个复平面的单位圆内，得到了含幂函数类对称曲线裂纹尖端Ⅰ-Ⅱ型应力强度因子的解析表达式，本解在特殊极限条件下可解析的退化到穿透型直线裂纹的经典解。参数分析表明，幂函数类对称曲线裂纹尖端的应力强度因子与裂纹的尺寸和形状有关。 利用同样的方法研究了带正三角形孔洞的平面弹性问题，求得了正三角形一个顶点处的应力强度因子的解析解。 圆内或圆外的全纯函数ψ(z)、ψ(z)可以展开为Taylor级数或Laurent级数。对于(同心)圆环域S上的弹性平衡问题，用级数展开的方法求解就显得比较简单。为了讨论椭圆环域上的弹性平衡问题，利用复变函数理论，把问题转化为简单的圆环域上的问题求解。