本文研究了自相似集和自仿集的拓扑结构和拓扑性质,主要包括有重叠的自相似集的拓扑分类和Lipschitz分类,含参数自相似集族和自仿集族的连通性。全文内容分为以下七个章节:第一章介绍了本文的研究背景和研究现状,并叙述了本文的主要结论。第二章介绍了本文需要用到的概念和结论,主要涉及迭代函数系统、自相似集、自仿集、符号空间、Gromov双曲图理论以及矩阵重排条件。第三章研究了一类有重叠结构的平面自相似集的拓扑分类问题。确切的说,假设整数m≥2,有限数字集（?）（（?）2/m）（?）[0,m-1]2,则存在平面自相似集F（?）2满足F=（F+（?））m。本章证明了F的拓扑结构有且只有三种类型:1)F是完全不连通集;2)F的所有非平凡的连通分支都是平行线段;3)F包含一个不是线段的非平凡的连通分支。此外,本章也在自仿集上做了一些推广。基于第三章的拓扑研究,第四章对其中一类完全不连通的有重叠的自相似集族进行了Lipschitz等价研究。利用刘家成和罗军[54-56]介绍的Gromov双曲图理论,通过检验矩阵重排条件,本章证明了自相似集族的Lipschitz等价类只与某个重叠数相关。第五章讨论了两类含参数自相似集族的连通性。第一类参数变化使得数字集中的某些向量沿着x轴方向移动,本章详细的刻画了相应自相似集的连通性和拓扑圆盘结构,并且证明了自相似tile能够确定一个准周期平铺当且仅当该参数是有理数。第二类参数变化使得数字集的某些数字沿着对角线方向移动,本章给出了相应自相似集是连通集的充分必要条件。第六章通过基数展开的方法刻画了一类平面自仿集族的连通性。对整数n,m≥2,令扩张矩阵A=diag（n,m）和数字集（?）={0,1,,n-1}x{0,1,,m-1},则由（A,（?））生成的自仿集F（A,（?））是一个单位正方形。通过移动数字集中的某个向量,相应自仿集的拓扑结构将会变得非常有趣,本章详细分析了这种移动变化对自仿集连通性的影响。最后,第七章回顾和总结了全文的主要工作,并对未来研究提出了一些新的问题。