对称力学系统的约化理论源自Euler，Jacobi，Lagrange，Hamilton，Routh，Poi-nare等人在力学领域的经典工作。除了传统的粒子力学以及刚体力学之外，现代力学还包括场论、流体力学、等离子物理学和固体力学以及量子力学、相对论也包括万有引力。约化理论关注的是如何利用对称性以及与之相应的守恒律进行约化。变分原理以及辛几何和Poisson几何为此提供了基本的工具。本文我们主要介绍了Lagrange系统的Lie-Poisson约化定理、Euler-Poincare约化定理以及Lagrange-Poincare约化定理，并将其应用于双球摆力学系统。本研究分为四个部分：　　 第一部分主要介绍了流形、流形间的光滑映射等一些基本概念，使得我们可以在流形上研究Lagrange系统的约化理论，并给出了和Lagrange系统相关的李群作用、动量映射、Lagrange函数等相关内容。　　 第二部分主要介绍了Lagrange系统约化理论的重要基础即变分原理，在此基础上介绍了Lagrange系统约化的Lie-Poisson约化定理、Euler-Poincare约化定理，Lagrange-Poincare约化定理。　　 第三部分介绍了具有循环变量的系统的Routh约化，它和Lagrange系统在可交换情形下的约化是一致的。　　 第四部分通过一个例子—双球摆，详细阐述了Lagrange系统约化定理的应用，同时我们也给出了其局部坐标表示，并得到了双球摆力学系统的Lagrange系统约化定理。