【摘 要】
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在过去的几十年间,分数阶积分微分方程吸引了越来越多科研学者们的注意,与其相关的理论研究也有了显著的进展。绝大部分分数阶积分微分方程的求解过程都十分困难甚至无法求得其解析解。但在实际问题中通常只需要得到有效的近似解即可,因此学者们转为致力于分数阶积分微分方程数值解的研究。本文主要研究了四阶积分微分方程的两种数值解法。首先,利用BDF2（second-order backward differenti
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在过去的几十年间,分数阶积分微分方程吸引了越来越多科研学者们的注意,与其相关的理论研究也有了显著的进展。绝大部分分数阶积分微分方程的求解过程都十分困难甚至无法求得其解析解。但在实际问题中通常只需要得到有效的近似解即可,因此学者们转为致力于分数阶积分微分方程数值解的研究。本文主要研究了四阶积分微分方程的两种数值解法。首先,利用BDF2（second-order backward differential formula）有限差分法求解一类带有弱奇异核的四阶积分微分方程,在时间方向上用二阶向后微分公式离散,将标准中心差分公式用于空间导数的离散,方程中的Riemann-Liouville分数阶积分项用二阶卷积求积公式近似,得到了全离散的差分格式。接着对该格式进行了稳定性与收敛性的分析与证明,数值结果表明BDF2差分格式是稳定且收敛的,在空间方向上的收敛阶为2阶,时间方向上的收敛阶数达到min{1+α1,1+α2}.其次,我们考虑用向后Euler ADI（alternating direction implicit）方法来求解三维分数阶发展型方程,用向后欧拉公式来离散时间导数,用一阶卷积求积公式处理方程中的Riemann-Liouville分数阶积分项,在空间上利用有限差分法构造了全离散的差分格式。在三维问题上使用ADI方法,这将大大减少计算存储量并且节约CPU时间。数值算例验证了所得的有限差分格式是无条件稳定的,且时间收敛阶数为1,空间收敛阶数为2.最后总结了本文中讨论的两种数值方法,对后续研究工作进行展望。
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