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期权、期货及其它衍生产品一直以来都是金融市场的热门商品，都拥有大量拥护者.其中尤其以期权的交易最为广泛，而期权的定价问题一直都是金融数学的核心问题之一.如何得到一个合理的期权价格向来都是金融数学的热门话题，以往的学者在此方面做了大量的研究，但是都是在波动率和利率为常数的假设下进行研究的.事实上现实市场的波动率和利率并非常数，所以本文研究的是随机波动率和利率下的欧式和美式期权定价问题. 本文通过对市场是无风险的前提假设，在二叉树模型的基础上，假设现实的金融市场在同一时刻的股票价格变动有三种情况，分别是上升、中间和下降.再给出离散情形下等价鞅测度的定义，使股票价格的变动情况的概率在等价鞅测度下是风险中性概率.进而得出了欧式和美式期权在三叉树随机波动率和随机利率下的定价公式，并应用得到的结论探讨了永久美式看跌期权的行权策略，最终将结果运用到实物期权中. 三叉树模型更适合现实市场，符合金融市场的价格变动.相较于二叉树模型，多出的一个分支，可以在解决短时间的价格变动，并且三叉树模型，可以更加逼近的拟合股票价格，可以和计算结合的更紧密实用性更高.