【摘 要】
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非线性矩阵方程是矩阵理论和数值代数研究的重要领域之一.此类方程被广泛的应用在阶梯网络,控制论,动态规划,随机筛选以及统计学等许多领域.而在所有的应用当中我们关注最多的则是方程的Hermite正定解,因此我们只讨论此类方程的Hermite正定解的情况.本文研究非线性矩阵方程X-A*X-qA=I（1）的Hermite正定解,其中A是n×n阶复矩阵,I是n×n阶单位矩阵,A*为矩阵4的共轭转置矩阵,q＞
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非线性矩阵方程是矩阵理论和数值代数研究的重要领域之一.此类方程被广泛的应用在阶梯网络,控制论,动态规划,随机筛选以及统计学等许多领域.而在所有的应用当中我们关注最多的则是方程的Hermite正定解,因此我们只讨论此类方程的Hermite正定解的情况.本文研究非线性矩阵方程X-A*X-qA=I（1）的Hermite正定解,其中A是n×n阶复矩阵,I是n×n阶单位矩阵,A*为矩阵4的共轭转置矩阵,q＞1.本文给出了此方程的Hermite正定解的一些性质以及存在唯一的Hermite正定解的更加宽泛的充分条件;同时利用同伦延拓法给出了求Hermite正定解的数值解法;根据Rice的条件数理论定义方程Hermite正定解的条件数,并导出条件数的显示表达式；最后给出数值例子来验证文中所得结论的正确性.本文的主要结果如下： 引理1对任意复矩阵4,方程（1）总有解X,并且有X∈(I,I+A*A]. 引理2对于实数x,y有： （1）若0＜x,y＜1/√q-1,则 （2）若x,y＞1/√q-1,则 定理1对任意的复矩阵A,存在酉矩阵Ρ,Q,以及对角矩阵r＞I,∑≥0,使得A=P*Γq/2Q∑P,其中r一∑2=I.此时,X=P*rP是方程（1）的解. 引理3若任意的矩阵A∈Cn×n满足不等式则方程X-A*X-qA=I在区间上有解. 定理2对任意复矩阵A设是方程（1）的解,则有X=Y.定理3令α是下面方程的最大正解口是下面方程的最小正解可得β≤α, （α-1）βq=λmax（A*A）,（β-1）αq=λmin（A*A）.若则方（1）程存在唯一正定解X,且 定理4成立的充要条件是 定理5设是方程（1）的解,则有X=Y. 定理6若矩阵A满足 则方程（1）在区间里有唯一的Hermite正定解. 定理7若A满足不等式则对任意的t∈[0,1]，方程X-tA*X-qA=I都存在唯一的Hermite正定解并且X＜q/q-1I. 引理4设矩阵函数F（X）=I+A*X-qA,若方程X=F（X）的正定解X在区间[q/q-1I]里是唯一的,则存在X*的邻域：‖X-X*‖＜δ,使得对（?）X0∈N（X*,δ）,有Xn=F（xn-1）迭代收敛到X*. 定理8假设A满足不等式则在区间[0,1]上存在一组分点：0=t0＜t1＜…＜tn=1和整数序列jk,κ=1,…,n一1使点列有定义,其中G（X（t）,t）=I+tA*X-qA.并且当J→∞时,矩阵序列Xn,j+l=G（Xn,j,1）,j=0,1,…收敛到X（1）. 引理5若A=aU,其中a∈C.U是一个酉矩阵,则方程（1）有唯一的解X=ωI,这里ω是下面方程的唯一正解 定理9设A=M∧N,M,N为酉矩阵,A为对角矩阵,η是A最大的奇异值.令B（t）=M[t∧2/q+（1-t）η2/qI]q/2N,t∈[0,1].若矩阵A满足不等式 则对（?）t∈[0,1],方程x-B*（t）x-qB（t）=I都存在唯一的Hermite正定解X，且X＞q/q-1I. 引理6令F1（X）:[A（x-I）-1A*]1/q,若方程X=F1（X）在区间[q/q-1I,∞]里的正定解X*是唯一的,则存在X*的邻域：‖X-X*‖＜δ,使对（?）X0∈N（X*,δ）,有Xn=F1（Xn-1）迭代收敛到X*. 定理10若矩阵A满足不等式 则在区间[0,1]上存在一组分点0=t0＜t1＜…＜tn=1和整数序列jk,κ=1,…,n-1使点列 有定义,其中并且当J→∞时,矩阵序列Xn,j+1=G1（Xn,j,1）,j=0,1,…收敛到X（1）即方程X-A*X-qA=I的解.
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